Von Kármán vířící tok - Von Kármán swirling flow - Wikipedia

Von Kármán vířící tok je tok vytvořený rovnoměrně rotujícím nekonečně dlouhým rovinným diskem, pojmenovaným podle Theodore von Kármán který problém vyřešil v roce 1921.^[1] Rotující disk funguje jako čerpadlo kapaliny a používá se jako model pro odstředivé ventilátory nebo kompresory. Tento tok je zařazen do kategorie ustálených toků, ve kterých vířivost generované na pevném povrchu je zabráněno v rozptylování daleko protilehlou konvekcí, dalšími příklady jsou Blasiova mezní vrstva s odsáváním, tok stagnačních bodů atd.

Popis toku

Uvažujme rovinný disk nekonečného poloměru rotující konstantní úhlovou rychlostí ${ displaystyle Omega}$ v tekutině, která zpočátku odpočívá všude. Vnější radiální pohyb tekutiny v blízkosti disku v důsledku odstředivé síly musí být doprovázen axiálním pohybem tekutiny směrem k disku, aby se šetřila hmota. Theodore von Kármán^[1] si všiml, že řídící rovnice a okrajové podmínky umožňují takové řešení ${ displaystyle u / r, v / r}$ a ${ displaystyle w}$ jsou funkce ${ displaystyle z}$ pouze, kde ${ displaystyle (u, v, w)}$ jsou složky rychlosti ve válcovém tvaru ${ displaystyle (r, theta, z)}$ koordinovat s ${ displaystyle r = 0}$ je osou otáčení a ${ displaystyle z = 0}$ představuje rovinný disk. Díky symetrii může tlak kapaliny záviset pouze na radiální a axiální souřadnici ${ displaystyle p = p (r, z)}$. Potom rovnice kontinuity a nestlačitelná Navier-Stokesovy rovnice snížit na

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {2u} {r}} + { frac {dw} {dz}} = 0 [8pt] & left ({ frac {u} {r }} right) ^ {2} - left ({ frac {v} {r}} right) ^ {2} + w { frac {d (u / r)} {dz}} = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné r}} + nu { frac {d ^ {2} (u / r)} {dz ^ {2}}} [8pt] & { frac {2uv} {r ^ {2}}} + w { frac {d (v / r)} {dz}} = nu { frac {d ^ {2} ( v / r)} {dz ^ {2}}} [8pt] & w { frac {dw} {dz}} = - { frac {1} { rho}} { frac { částečný p} { částečné z}} + nu { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} qquad Rightarrow qquad { frac {p} { rho}} = nu { frac {dw} {dz}} - { frac {1} {2}} w ^ {2} + f (r) end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle nu}$ je kinematická viskozita.

Žádné otáčení v nekonečnu

Von Karman vířící tok podobnosti rychlosti a tlak na nekonečný rotující disk jako funkce vzdálenosti nad diskem.

Protože zde není žádná rotace ${ displaystyle z rightarrow infty}$, ${ displaystyle p (r, z)}$ se stane nezávislým na ${ displaystyle r}$ což má za následek ${ displaystyle p = p (z)}$. Proto ${ displaystyle f (r) = { text {stálý}}}$ a ${ displaystyle částečné p / částečné r = 0}$.

Zde okrajové podmínky pro tekutinu ${ displaystyle z> 0}$ jsou

${ displaystyle u = 0, quad v = Omega r, quad w = 0, quad p = p_ {0} quad { text {pro}} z = 0}$

${ displaystyle u = 0, quad v = 0 quad { text {pro}} z rightarrow infty}$

Self-podobné řešení se získá zavedením následující transformace,^[2]

${ displaystyle eta = { sqrt { frac { Omega} { nu}}} z, quad u = r Omega F ( eta), quad v = r Omega G ( eta), quad w = { sqrt { nu Omega}} H ( eta), quad p = p_ {0} + rho nu Omega P ( eta),}$

kde ${ displaystyle rho}$ je hustota kapaliny.

Self-podobné rovnice jsou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 2F + H '& = 0 F ^ {2} -G ^ {2} + F'H & = F' ' 2FG + G'H & = G' ' P '+ HH'-H' '& = 0 end {zarovnáno}}}$

s okrajovými podmínkami pro tekutinu ${ displaystyle eta> 0}$ jsou

${ displaystyle F = 0, quad G = 1, quad H = 0, quad P = 0 quad { text {pro}} eta = 0}$

${ displaystyle F = 0, quad G = 0 quad { text {pro}} eta rightarrow infty}$

Spojené obyčejné diferenciální rovnice je třeba řešit numericky a přesné řešení uvádí Cochran (1934).^[3] Axiální rychlost přítoku v nekonečnu získaná numerickou integrací je ${ displaystyle w = -0,886 { sqrt { nu Omega}}}$, takže celkový odtokový objemový tok přes válcový povrch o poloměru ${ displaystyle r}$ je ${ displaystyle 0,886 pi r ^ {2} { sqrt { nu Omega}}}$. Tangenciální napětí na disku je ${ displaystyle sigma _ {z varphi} = mu ( částečné v / částečné z) _ {z = 0} = rho { sqrt { nu Omega ^ {3}}} rG '(0 )}$. Při zanedbávání okrajových efektů je točivý moment vyvíjený kapalinou na disk s velkými (${ displaystyle R gg { sqrt { nu / Omega}}}$) ale konečný poloměr ${ displaystyle R}$ je

${ displaystyle T = 2 int _ {0} ^ {R} 2 pi r ^ {2} sigma _ {r theta} , dr = pi R ^ {4} rho { sqrt { nu Omega ^ {3}}} G '(0).}$

Faktor ${ displaystyle 2}$ je přidán do účtu pro obě strany disku. Z numerického řešení je točivý moment dán vztahem ${ displaystyle T = -1,94R ^ {4} rho { sqrt { nu Omega ^ {3}}}}$. Teorie předpovídaný točivý moment je ve vynikající shodě s experimentem na velkých discích až do Reynoldsovo číslo asi ${ displaystyle Re = R ^ {2} Omega / nu = 3 krát 10 ^ {5}}$, tok se stává turbulentním při vysokém Reynoldsově čísle.^[4]

Tuhá rotace těla v nekonečnu

Tento problém byl vyřešen uživatelem George Keith Batchelor (1951).^[5] Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být úhlová rychlost v nekonečnu. Nyní tlak na ${ displaystyle z rightarrow infty}$ je ${ displaystyle { frac {1} {2}} rho Gamma ^ {2} r ^ {2}}$. Proto ${ displaystyle f (r) = { frac {1} {2}} rho Gamma ^ {2} r ^ {2}}$ a ${ displaystyle částečné p / částečné r = gama ^ {2}}$.
Pak okrajové podmínky pro tekutinu ${ displaystyle z> 0}$ jsou

${ displaystyle u = 0, quad v = Omega r, quad w = 0 quad { text {pro}} z = 0}$

${ displaystyle u = 0, quad v = Gamma r quad { text {pro}} z rightarrow infty}$

Self-podobné řešení se získá zavedením následující transformace,

${ displaystyle eta = { sqrt { frac { Omega} { nu}}} z, quad gamma = { frac { Gamma} { Omega}}, quad u = r Omega F ( eta), quad v = r Omega G ( eta), quad w = { sqrt { nu Omega}} H ( eta).}$

Self-podobné rovnice jsou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 2F + H '& = 0 [3pt] F ^ {2} -G ^ {2} + F'H & = F' '- gamma ^ {2} [ 3pt] 2FG + G'H & = G '' end {zarovnáno}}}$

s okrajovými podmínkami pro tekutinu ${ displaystyle eta> 0}$ je

${ displaystyle F = 0, quad G = 1, quad H = 0 quad { text {pro}} eta = 0}$

${ displaystyle F = 0, quad G = gamma quad { text {pro}} eta rightarrow infty}$

Řešení lze snadno získat pouze pro ${ displaystyle gamma> 0}$ tj. tekutina v nekonečnu se otáčí ve stejném smyslu jako deska. Pro ${ displaystyle gamma <0}$, řešení je složitější v tom smyslu, že se vyskytují větve mnoha řešení. Evans (1969)^[6] získané řešení pro rozsah ${ Displaystyle -1,35 < gama <-0,61}$. Zandbergen a Dijkstra^[7][8] ukázaly, že řešení vykazuje druhou odmocninu singularity jako ${ displaystyle gamma ^ {-} rightarrow -0,16053876}$ a našel větev druhého řešení slučující se s řešením nalezeným pro ${ displaystyle gamma rightarrow -0,16053876}$. Řešení druhé větve pokračuje až do ${ displaystyle gamma ^ {-} pravá šipka 0,07452563}$, v tomto okamžiku se zjistí, že se objeví větev třetího řešení. Objevili také nekonečno větví řešení kolem bodu ${ displaystyle gamma ^ {-} rightarrow 0}$. Bodoyni (1975)^[9] vypočtená řešení pro velké záporné ${ displaystyle gamma}$, ukázal, že se řešení rozpadá v ${ displaystyle gamma ^ {-} = - 1,436}$. Pokud má rotující deska rovnoměrnou rychlost sání na desce, lze získat smysluplné řešení pro ${ displaystyle gamma leq -0,2}$.^[4]

Pro ${ displaystyle 0 < gamma < infty, gamma neq 1}$ (${ displaystyle gamma = 1}$ představuje rotaci tělesa, celá tekutina se otáčí stejnou rychlostí) roztok dosáhne rotace tělesa v nekonečnu oscilačním způsobem z desky. Axiální rychlost je záporná ${ displaystyle w <0}$ pro ${ displaystyle 0 leq gama <1}$ a pozitivní ${ displaystyle w> 0}$ pro ${ displaystyle 1 < gamma < infty}$. Existuje explicitní řešení, když ${ displaystyle | gamma -1 | ll 1}$.

Téměř se otáčí stejnou rychlostí, ${ displaystyle | gamma -1 | ll 1}$

Protože obě okrajové podmínky pro ${ displaystyle G}$ jsou téměř rovny jedné, dalo by se očekávat řešení pro ${ displaystyle G}$ mírně se odchýlit od jednoty. Odpovídající váhy pro ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle H}$ lze odvodit ze sebepodobných rovnic. Proto,

${ displaystyle G = 1 + { hat {G}}, quad H = { hat {H}}, quad F = { hat {F}} qquad | { hat {F}} |, | { hat {G}} |, | { hat {H}} | ll 1}$

K aproximaci prvního řádu (zanedbávání ${ displaystyle { hat {F}} ^ {2}, { hat {G}} ^ {2}, { hat {H}} ^ {2}}$), podobná rovnice ^[10] se stává

${ displaystyle { begin {aligned} 2 { hat {F}} + { hat {H}} '& = 0 1 + 2 { hat {G}} & = gamma ^ {2} - { hat {F}} '' 2 { hat {F}} & = { hat {G}} '' end {zarovnáno}}}$

s přesnými řešeními

${ displaystyle { begin {zarovnáno} F ( eta) & = - ( gamma -1) e ^ {- eta} sin eta, G ( eta) & = 1 + ( gamma - 1) (1-e ^ {- eta} cos eta), H ( eta) & = ( gamma -1) [1-e ^ {- eta} ( sin eta + cos eta)]. end {zarovnáno}}}$

Tato řešení jsou podobná řešení Ekmanova vrstva^[10] řešení.

Neasymetrická řešení^[11]

Tok akceptuje neosymetrické řešení s osově symetrickými okrajovými podmínkami objevenými Hewittem, Duckem a Fosterem.^[12] Definování

${ displaystyle eta = { sqrt { frac { Omega} { nu}}} z, quad gamma = { frac { Gamma} { Omega}}, quad u = r Omega [ f '( eta) + phi ( eta) cos 2 theta], quad v = r Omega [g ( eta) - phi ( eta) sin 2 theta], quad w = -2 { sqrt { nu Omega}} f ( eta),}$

a řídící rovnice jsou

${ displaystyle { begin {aligned} f '' '+ 2ff' '- f' ^ {2} - phi ^ {2} + g ^ {2} & = gamma ^ {2}, g ' '+2 (fg'-f'g) & = 0, phi' +2 (f phi '-f' phi) & = 0, end {zarovnáno}}}$

s okrajovými podmínkami

${ Displaystyle f (0) = f '(0) = phi (0) = g (0) -1 = f' ( infty) = phi ( infty) = g ( infty) - gamma = 0.}$

Zjistilo se, že řešení existuje z numerické integrace pro ${ displaystyle -0,14485 leq gamma leq 0}$.

Dva rotující koaxiální disky

Tento problém byl vyřešen uživatelem George Keith Batchelor (1951),^[5] Keith Stewartson (1952)^[13] a mnoho dalších výzkumníků. Zde řešení není jednoduché, kvůli další stupnici délky uložené v problému, tj. Vzdálenosti ${ displaystyle h}$ mezi dvěma disky. Navíc jedinečnost a existence stabilního řešení závisí také na odpovídajícím Reynoldsově čísle ${ displaystyle Re = Omega h ^ {2} / nu}$.
Pak okrajové podmínky pro tekutinu ${ displaystyle 0$ jsou

${ displaystyle u = 0, quad v = Omega r, quad w = 0 quad { text {pro}} z = 0}$

${ displaystyle u = 0, quad v = Gamma r, quad w = 0 quad { text {pro}} z = h.}$

Ve smyslu ${ displaystyle eta}$, umístění horní stěny je jednoduše ${ displaystyle eta = { sqrt { Omega / nu}} h = Re ^ {1/2}}$. Tedy místo škálování

${ displaystyle { begin {seřazeno} eta = { sqrt { frac { Omega} { nu}}} z, quad gamma = { frac { Gamma} { Omega}}, quad u = r Omega F '( eta), quad v = r Omega G ( eta), quad w = -2 { sqrt { nu Omega}} F ( eta) end {zarovnáno }}}$

dříve používané, je vhodné zavést následující transformaci,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} xi = Re ^ {- 1/2} eta, quad f = Re ^ {- 1/2} F, quad g = G end {zarovnáno}}}$

aby se staly řídící rovnice

${ displaystyle { begin {aligned} Re ^ {- 1} f '' '+ 2ff' '- f' ^ {2} + g ^ {2} = lambda, Re ^ {- 1} g ' '+2 (fg'-f'g) = 0 end {zarovnáno}}}$

se šesti okrajovými podmínkami

${ displaystyle f '= 0, quad g = 1, quad f = 0 quad { text {pro}} xi = 0}$

${ displaystyle f '= 0, quad g = gamma, quad f = 0 quad { text {pro}} xi = 1.}$

a tlak je dán

${ displaystyle { frac {p-p_ {o}} { rho}} = { frac {1} {2}} lambda r ^ {2} Omega ^ {2} -2 nu Omega ( Ref ^ {2} + f ').}$

Zde jsou okrajové podmínky šest, protože tlak není znám ani na horní, ani na spodní stěně; ${ displaystyle lambda}$ je třeba získat jako součást řešení. Pro velké Reynoldsovo číslo ${ displaystyle Re gg 1}$, Batchelor tvrdil, že tekutina v jádru se bude otáčet konstantní rychlostí, lemovanou dvěma hraničními vrstvami na každém disku pro ${ displaystyle gamma geq 0}$ a bude existovat dva rovnoměrný protiběžný tok o tloušťce ${ displaystyle xi = 1/2}$ pro ${ displaystyle gamma = -1}$. Nicméně, Stewartson předpověděl, že pro ${ displaystyle gamma = 0, -1}$ tekutina v jádru by se neotočila ${ displaystyle Re gg 1}$, ale právě odešel se dvěma hraničními vrstvami na každém disku. Ukázalo se, Stewartson předpovědi byly správné.

Existuje také přesné řešení, pokud se dva disky otáčejí kolem různých os, ale pro ${ displaystyle gamma = 1}$.

Aplikace

Vírivý tok Von Kármán nachází své uplatnění v široké škále oborů, mezi něž patří rotační stroje, filtrační systémy, počítačová paměťová zařízení, aplikace pro přenos tepla a hmoty, problémy související se spalováním, planetární formace, geofyzikální aplikace atd.

Reference

Bibliografie

• Von Kármán, Theodore (1921). „Über laminare und turbulente Reibung“ (PDF). Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1 (4): 233–252. doi:10,1002 / zamm.19210010401.
• Batchelor, George Keith (1951). "Poznámka ke třídě řešení Navier-Stokesových rovnic představujících stabilní rotačně-symetrický tok". Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 4: 29–41. doi:10.1093 / qjmam / 4.1.29.
• Stewartson, K. (1953). "Na toku mezi dvěma rotujícími koaxiálními disky". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 49 (2): 333. doi:10.1017 / S0305004100028437.
• Batchelor, George Keith (2000). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge univerzitní tisk. ISBN  978-0521663960.
• Landau, Lev D. Mechanika tekutin. ISBN  978-0750627672.
• Schlichting, Hermann (1960). Teorie mezních vrstev. New York: McGraw-hill.
• Schlichting, Hermann a Gersten, Klaus (2017). Teorie mezních vrstev. ISBN  978-3662529171.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)