Číslo Van der Waerden - Van der Waerden number

Van der Waerdenova věta uvádí, že pro všechny kladná celá čísla r a k existuje kladné celé číslo N taková, že pokud celá čísla {1, 2, ..., N} jsou barevné, každý s jedním z r různé barvy, pak existují alespoň k celá čísla v aritmetický postup všechny stejné barvy. Nejmenší takový N je číslo van der Waerden Ž(r, k).

Tabulky Van der Waerdenových čísel

Existují dva případy, kdy je číslo van der Waerden Ž(r, k) je snadné vypočítat: za prvé, když počet barev r se rovná 1, jeden má Ž(1, k) = k pro jakékoli celé číslo k, protože jedna barva vytváří pouze triviální zbarvení RRRRR ... RRR (pro jednu barvu označenou R). Za druhé, když délka k nucené aritmetické progrese je 2, jeden má Ž(r, 2) = r + 1, protože lze zkonstruovat zbarvení, které se vyhne aritmetickému postupu délky 2, a to tak, že každou barvu použijeme nanejvýš jednou, ale použitím jakékoli barvy dvakrát se vytvoří aritmetický postup délky 2. (Například pro r = 3, nejdelší zbarvení, které se vyhýbá aritmetickému postupu délky 2, je RGB.) Existuje pouze sedm dalších van der Waerdenových čísel, která jsou známa přesně. V tabulce níže jsou uvedeny přesné hodnoty a hranice hodnot Ž(r, k); hodnoty jsou převzaty z Rabung a Lotts, pokud není uvedeno jinak.^[1]

k	2 barvy	3 barvy	4 barvy	5 barev	6 barev
3	9^[2]	27^[2]	76^[3]	>170	>223
4	35^[2]	293^[4]	>1,048	>2,254	>9,778
5	178^[5]	>2,173	>17,705	>98,740	>98,748
6	1,132^[6]	>11,191	>91,331	>540,025	>816,981
7	>3,703	>48,811	>420,217	>1,381,687	>7,465,909
8	>11,495	>238,400	>2,388,317	>10,743,258	>57,445,718
9	>41,265	>932,745	>10,898,729	>79,706,009	>458,062,329^[7]
10	>103,474	>4,173,724	>76,049,218	>542,694,970^[7]	>2,615,305,384^[7]
11	>193,941	>18,603,731	>305,513,57^[7]	>2,967,283,511^[7]	>3,004,668,671^[7]

Van der Waerdenova čísla s r ≥ 2 jsou výše ohraničeny

{ displaystyle W (r, k) leq 2 ^ {2 ^ {r ^ {2 ^ {2 ^ {k + 9}}}}}}

jak dokazuje Gowers.^[8]

Pro prvočíslo p, dvoubarevné číslo van der Waerden je omezeno níže

{ displaystyle p cdot 2 ^ {p} leq W (2, p + 1),}

jak dokazuje Berlekamp.^[9]

Jeden někdy také píše w(r; k₁, k₂, ..., k_r) znamená nejmenší číslo w takové, že jakékoli zbarvení celých čísel {1, 2, ..., w} s r barvy obsahuje postup délky k_i barvy i, pro některé i. Taková čísla se nazývají mimo diagonální van der Waerdenova čísla. Tím pádem Ž(r, k) = w(r; k, k, ..., kNásleduje seznam některých známých čísel van der Waerden:

Známá čísla van der Waerden
w (r; k₁, k₂,…, K_r)	Hodnota	Odkaz
w (2; 3,3)	9	Chvátal ^[2]
w (2; 3,4)	18	Chvátal ^[2]
w (2; 3,5)	22	Chvátal ^[2]
w (2; 3,6)	32	Chvátal ^[2]
w (2; 3,7)	46	Chvátal ^[2]
w (2; 3,8)	58	Beeler a O'Neil ^[3]
w (2; 3,9)	77	Beeler a O'Neil ^[3]
w (2; 3,10)	97	Beeler a O'Neil ^[3]
w (2; 3,11)	114	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (2; 3,12)	135	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (2; 3,13)	160	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (2; 3,14)	186	Kouril ^[11]
w (2; 3,15)	218	Kouril ^[11]
w (2; 3,16)	238	Kouril ^[11]
w (2; 3,17)	279	Ahmed ^[12]
w (2; 3,18)	312	Ahmed ^[12]
w (2; 3,19)	349	Ahmed, Kullmann a Snevily ^[13]
w (2; 3,20)	389	Ahmed, Kullmann a Snevily ^[13] (domnělý); Kouril ^[14] (ověřeno)
w (2; 4,4)	35	Chvátal ^[2]
w (2; 4,5)	55	Chvátal ^[2]
w (2; 4,6)	73	Beeler a O'Neil ^[3]
w (2; 4,7)	109	Beeler ^[15]
w (2; 4,8)	146	Kouril ^[11]
w (2; 4,9)	309	Ahmed ^[16]
w (2; 5,5)	178	Stevens a Shantaram ^[5]
w (2; 5,6)	206	Kouril ^[11]
w (2; 5,7)	260	Ahmed ^[17]
w (2; 6,6)	1132	Kouril a Paul ^[6]
w (3; 2, 3, 3)	14	Hnědý ^[18]
w (3; 2, 3, 4)	21	Hnědý ^[18]
w (3; 2, 3, 5)	32	Hnědý ^[18]
w (3; 2, 3, 6)	40	Hnědý ^[18]
w (3; 2, 3, 7)	55	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (3; 2, 3, 8)	72	Kouril ^[11]
w (3; 2, 3, 9)	90	Ahmed ^[19]
w (3; 2, 3, 10)	108	Ahmed ^[19]
w (3; 2, 3, 11)	129	Ahmed ^[19]
w (3; 2, 3, 12)	150	Ahmed ^[19]
w (3; 2, 3, 13)	171	Ahmed ^[19]
w (3; 2, 3, 14)	202	Kouril ^[4]
w (3; 2, 4, 4)	40	Hnědý ^[18]
w (3; 2, 4, 5)	71	Hnědý ^[18]
w (3; 2, 4, 6)	83	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (3; 2, 4, 7)	119	Kouril ^[11]
w (3; 2, 4, 8)	157	Kouril ^[4]
w (3; 2, 5, 5)	180	Ahmed ^[19]
w (3; 2, 5, 6)	246	Kouril ^[4]
w (3; 3, 3, 3)	27	Chvátal ^[2]
w (3; 3, 3, 4)	51	Beeler a O'Neil ^[3]
w (3; 3, 3, 5)	80	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (3; 3, 3, 6)	107	Ahmed ^[16]
w (3; 3, 4, 4)	89	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (3; 4, 4, 4)	293	Kouril ^[4]
w (4; 2, 2, 3, 3)	17	Hnědý ^[18]
w (4; 2, 2, 3, 4)	25	Hnědý ^[18]
w (4; 2, 2, 3, 5)	43	Hnědý ^[18]
w (4; 2, 2, 3, 6)	48	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (4; 2, 2, 3, 7)	65	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (4; 2, 2, 3, 8)	83	Ahmed ^[19]
w (4; 2, 2, 3, 9)	99	Ahmed ^[19]
w (4; 2, 2, 3, 10)	119	Ahmed ^[19]
w (4; 2, 2, 3, 11)	141	Schweitzer ^[20]
w (4; 2, 2, 3, 12)	163	Kouril ^[14]
w (4; 2, 2, 4, 4)	53	Hnědý ^[18]
w (4; 2, 2, 4, 5)	75	Ahmed ^[19]
w (4; 2, 2, 4, 6)	93	Ahmed ^[19]
w (4; 2, 2, 4, 7)	143	Kouril ^[4]
w (4; 2, 3, 3, 3)	40	Hnědý ^[18]
w (4; 2, 3, 3, 4)	60	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (4; 2, 3, 3, 5)	86	Ahmed ^[19]
w (4; 2, 3, 3, 6)	115	Kouril ^[14]
w (4; 3, 3, 3, 3)	76	Beeler a O'Neil ^[3]
w (5; 2, 2, 2, 3, 3)	20	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (5; 2, 2, 2, 3, 4)	29	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 2, 3, 5)	44	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 2, 3, 6)	56	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 2, 3, 7)	72	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 2, 3, 8)	88	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 2, 3, 9)	107	Kouril ^[4]
w (5; 2, 2, 2, 4, 4)	54	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 2, 4, 5)	79	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 2, 4, 6)	101	Kouril ^[4]
w (5; 2, 2, 3, 3, 3)	41	Landman, Robertson a Culver ^[10]
w (5; 2, 2, 3, 3, 4)	63	Ahmed ^[19]
w (5; 2, 2, 3, 3, 5)	95	Kouril ^[14]
w (6; 2, 2, 2, 2, 3, 3)	21	Ahmed ^[19]
w (6; 2, 2, 2, 2, 3, 4)	33	Ahmed ^[19]
w (6; 2, 2, 2, 2, 3, 5)	50	Ahmed ^[19]
w (6; 2, 2, 2, 2, 3, 6)	60	Ahmed ^[19]
w (6; 2, 2, 2, 2, 4, 4)	56	Ahmed ^[19]
w (6; 2, 2, 2, 3, 3, 3)	42	Ahmed ^[19]
w (7; 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	24	Ahmed ^[19]
w (7; 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4)	36	Ahmed ^[19]
w (7; 2, 2, 2, 2, 2, 3, 5)	55	Ahmed ^[16]
w (7; 2, 2, 2, 2, 2, 3, 6)	65	Ahmed ^[17]
w (7; 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4)	66	Ahmed ^[17]
w (7; 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3)	45	Ahmed ^[17]
w (8; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	25	Ahmed ^[19]
w (8; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4)	40	Ahmed ^[16]
w (8; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 5)	61	Ahmed ^[17]
w (8; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 6)	71	Ahmed ^[17]
w (8; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4)	67	Ahmed ^[17]
w (8; 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3)	49	Ahmed ^[17]
w (9; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	28	Ahmed ^[19]
w (9; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4)	42	Ahmed ^[17]
w (9; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 5)	65	Ahmed ^[17]
w (9; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3)	52	Ahmed ^[17]
w (10; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	31	Ahmed ^[17]
w (10; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4)	45	Ahmed ^[17]
w (10; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 5)	70	Ahmed ^[17]
w (11; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	33	Ahmed ^[17]
w (11; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4)	48	Ahmed ^[17]
w (12; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	35	Ahmed ^[17]
w (12; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4)	52	Ahmed ^[17]
w (13; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	37	Ahmed ^[17]
w (13; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4)	55	Ahmed ^[17]
w (14; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	39	Ahmed ^[17]
w (15; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	42	Ahmed ^[17]
w (16; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	44	Ahmed ^[17]
w (17; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	46	Ahmed ^[17]
w (18; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	48	Ahmed ^[17]
w (19; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	50	Ahmed ^[17]
w (20; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3)	51	Ahmed ^[17]

Van der Waerdenova čísla jsou primitivní rekurzivní, jak dokazuje Shelah;^[21] ve skutečnosti dokázal, že jsou (maximálně) na páté úrovni ${ displaystyle { mathcal {E}} ^ {5}}$ z Grzegorczykova hierarchie.

Viz také

Reference

^ Rabung, John; Lotts, Mark (2012). „Zlepšení používání cyklických zipů při hledání nižších mezí pro čísla van der Waerden“. Elektron. J. Combin. 19 (2). PAN 2928650.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Chvátal, Vašek (1970). "Některá neznámá čísla van der Waerden". V Guy, Richard; Hanani, Haim; Sauer, Norbert; et al. (eds.). Kombinatorické struktury a jejich aplikace. New York: Gordon a Breach. 31–33. PAN 0266891.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Beeler, Michael D .; O'Neil, Patrick E. (1979). "Některá nová čísla van der Waerden". Diskrétní matematika. 28 (2): 135–146. doi:10.1016 / 0012-365x (79) 90090-6. PAN 0546646.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Kouril, Michal (2012). "Počítám van der Waerdenovo číslo W (3,4) = 293". Celá čísla. 12: A46. PAN 3083419.
^ ^A ^b Stevens, Richard S .; Shantaram, R. (1978). "Počítačem generované oddíly van der Waerden". Matematika. Comp. 32 (142): 635–636. doi:10.1090 / s0025-5718-1978-0491468-x. PAN 0491468.
^ ^A ^b Kouril, Michal; Paul, Jerome L. (2008). „Van der Waerdenovo číslo W (2,6) je 1132“. Experimentální matematika. 17 (1): 53–61. doi:10.1080/10586458.2008.10129025. PAN 2410115.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F „Daniel Monroe, Van Der Waerden Numbers“. vdwnumbers.org. Citováno 2015-09-19.
^ Gowers, Timothy (2001). „Nový důkaz Szemerédiho věty“. Geom. Funct. Anální. 11 (3): 465–588. doi:10.1007 / s00039-001-0332-9. PAN 1844079.
^ Berlekamp, E. (1968). "Konstrukce pro oddíly, které zabraňují dlouhému aritmetickému postupu". Kanadský matematický bulletin. 11 (3): 409–414. doi:10.4153 / CMB-1968-047-7. PAN 0232743.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l Landman, Bruce; Robertson, Aaron; Culver, Clay (2005). „Některá nová přesná čísla van der Waerden“ (PDF). Celá čísla. 5 (2): A10. PAN 2192088.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Kouril, Michal (2006). Rámec backtracking pro klastry Beowulf s rozšířením na multi-klastrový výpočet a implementace problému se srovnávacím testem (Disertační práce). University of Cincinnati.
^ ^A ^b Ahmed, Tanbir (2010). "Dvě nová čísla van der Waerden w (2; 3,17) a w (2; 3,18)". Celá čísla. 10 (4): 369–377. doi:10.1515 / integ.2010.032. PAN 2684128.
^ ^A ^b Ahmed, Tanbir; Kullmann, Oliver; Snevily, Hunter (2014). "Na číslech van der Waerden w (2; 3, t)". Diskrétní aplikace Matematika. 174 (2014): 27–51. arXiv:1102.5433. doi:10.1016 / j.dam.2014.05.007. PAN 3215454.
^ ^A ^b ^C ^d Kouril, Michal (2015). "Využití klastrů FPGA pro výpočty SAT". Parallel Computing: On the Road to Exascale: 525–532.
^ Beeler, Michael D. (1983). "Nové číslo van der Waerden". Diskrétní aplikovaná matematika. 6 (2): 207. doi:10.1016 / 0166-218x (83) 90073-2. PAN 0707027.
^ ^A ^b ^C ^d Ahmed, Tanbir (2012). "Při výpočtu přesných van der Waerdenových čísel". Celá čísla. 12 (3): 417–425. doi:10.1515 / integ.2011.112. PAN 2955523.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^proti ^w ^X ^y ^z ^aa Ahmed, Tanbir (2013). „Některá další čísla Van der Waerdena“. Journal of Integer Sequences. 16 (4): 13.4.4. PAN 3056628.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Brown, T. C. (1974). "Některá nová čísla van der Waerden (předběžná zpráva)". Oznámení Americké matematické společnosti. 21: A-432.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^proti ^w ^X ^y ^z ^aa ^ab ^ac ^inzerát Ahmed, Tanbir (2009). "Některá nová čísla typu van der Waerden a některá čísla typu van der Waerden." Celá čísla. 9: A6. doi:10.1515 / integ.2009.007. PAN 2506138.
^ Schweitzer, Pascal (2009). Problémy neznámé složitosti, izomorfismu grafů a Ramseyho teoretických čísel (Disertační práce). U. des Saarlandes.
^ Shelah, Saharon (1988). „Primitivní rekurzivní meze pro van der Waerdenova čísla“. J. Amer. Matematika. Soc. 1 (3): 683–697. doi:10.2307/1990952. JSTOR 1990952. PAN 0929498.

Další čtení

Landman, Bruce M .; Robertson, Aaron (2014). Ramseyova teorie o celých číslech. Matematická knihovna studenta. 73 (Druhé vydání.). Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090 / stml / 073. ISBN 978-0-8218-9867-3. PAN 3243507.
Herwig, P. R .; Heule, M. J. H .; van Lambalgen, P. M .; van Maaren, H. (2007). „Nová metoda pro konstrukci dolních mezí pro čísla Van der Waerden“. Electronic Journal of Combinatorics. 14 (1). PAN 2285810.

externí odkazy

O'Bryant, Kevin & Weisstein, Eric W. „Van der Waerdenovo číslo“. MathWorld.

[1] Rabung, John; Lotts, Mark (2012). „Zlepšení používání cyklických zipů při hledání nižších mezí pro čísla van der Waerden“. Elektron. J. Combin. 19 (2). PAN 2928650.

[chvatal1970-2] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Chvátal, Vašek (1970). "Některá neznámá čísla van der Waerden". V Guy, Richard; Hanani, Haim; Sauer, Norbert; et al. (eds.). Kombinatorické struktury a jejich aplikace. New York: Gordon a Breach. 31–33. PAN 0266891.

[beeleroneil1979-3] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Beeler, Michael D .; O'Neil, Patrick E. (1979). "Některá nová čísla van der Waerden". Diskrétní matematika. 28 (2): 135–146. doi:10.1016 / 0012-365x (79) 90090-6. PAN 0546646.

[kouril2012-4] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Kouril, Michal (2012). "Počítám van der Waerdenovo číslo W (3,4) = 293". Celá čísla. 12: A46. PAN 3083419.

[ss1978-5] A ^b Stevens, Richard S .; Shantaram, R. (1978). "Počítačem generované oddíly van der Waerden". Matematika. Comp. 32 (142): 635–636. doi:10.1090 / s0025-5718-1978-0491468-x. PAN 0491468.

[kp2006-6] A ^b Kouril, Michal; Paul, Jerome L. (2008). „Van der Waerdenovo číslo W (2,6) je 1132“. Experimentální matematika. 17 (1): 53–61. doi:10.1080/10586458.2008.10129025. PAN 2410115.

[:0-7] A ^b ^C ^d ^E ^F „Daniel Monroe, Van Der Waerden Numbers“. vdwnumbers.org. Citováno 2015-09-19.

[8] Gowers, Timothy (2001). „Nový důkaz Szemerédiho věty“. Geom. Funct. Anální. 11 (3): 465–588. doi:10.1007 / s00039-001-0332-9. PAN 1844079.

[9] Berlekamp, E. (1968). "Konstrukce pro oddíly, které zabraňují dlouhému aritmetickému postupu". Kanadský matematický bulletin. 11 (3): 409–414. doi:10.4153 / CMB-1968-047-7. PAN 0232743.

[lrc2005-10] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l Landman, Bruce; Robertson, Aaron; Culver, Clay (2005). „Některá nová přesná čísla van der Waerden“ (PDF). Celá čísla. 5 (2): A10. PAN 2192088.

[kouril2006-11] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Kouril, Michal (2006). Rámec backtracking pro klastry Beowulf s rozšířením na multi-klastrový výpočet a implementace problému se srovnávacím testem (Disertační práce). University of Cincinnati.

[ahmed2010-12] A ^b Ahmed, Tanbir (2010). "Dvě nová čísla van der Waerden w (2; 3,17) a w (2; 3,18)". Celá čísla. 10 (4): 369–377. doi:10.1515 / integ.2010.032. PAN 2684128.

[aks2011-13] A ^b Ahmed, Tanbir; Kullmann, Oliver; Snevily, Hunter (2014). "Na číslech van der Waerden w (2; 3, t)". Diskrétní aplikace Matematika. 174 (2014): 27–51. arXiv:1102.5433. doi:10.1016 / j.dam.2014.05.007. PAN 3215454.

[kouril2016-14] A ^b ^C ^d Kouril, Michal (2015). "Využití klastrů FPGA pro výpočty SAT". Parallel Computing: On the Road to Exascale: 525–532.

[beeler1983-15] Beeler, Michael D. (1983). "Nové číslo van der Waerden". Diskrétní aplikovaná matematika. 6 (2): 207. doi:10.1016 / 0166-218x (83) 90073-2. PAN 0707027.

[ahmed2011-16] A ^b ^C ^d Ahmed, Tanbir (2012). "Při výpočtu přesných van der Waerdenových čísel". Celá čísla. 12 (3): 417–425. doi:10.1515 / integ.2011.112. PAN 2955523.

[ahmedJIS-17] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^proti ^w ^X ^y ^z ^aa Ahmed, Tanbir (2013). „Některá další čísla Van der Waerdena“. Journal of Integer Sequences. 16 (4): 13.4.4. PAN 3056628.

[brown1974-18] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Brown, T. C. (1974). "Některá nová čísla van der Waerden (předběžná zpráva)". Oznámení Americké matematické společnosti. 21: A-432.

[ahmed2009-19] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^proti ^w ^X ^y ^z ^aa ^ab ^ac ^inzerát Ahmed, Tanbir (2009). "Některá nová čísla typu van der Waerden a některá čísla typu van der Waerden." Celá čísla. 9: A6. doi:10.1515 / integ.2009.007. PAN 2506138.

[sch2009-20] Schweitzer, Pascal (2009). Problémy neznámé složitosti, izomorfismu grafů a Ramseyho teoretických čísel (Disertační práce). U. des Saarlandes.

[21] Shelah, Saharon (1988). „Primitivní rekurzivní meze pro van der Waerdenova čísla“. J. Amer. Matematika. Soc. 1 (3): 683–697. doi:10.2307/1990952. JSTOR 1990952. PAN 0929498.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]