Uzawova věta, také známý jako věta o ustáleném stavu, je věta v teorie ekonomického růstu týkající se formy, která technologická změna může přijmout v Solow – Swan a Ramsey – Cass – Koopmans modely růstu. Poprvé to dokázal japonský ekonom Hirofumi Uzawa.[1]
Jedna obecná verze věty se skládá ze dvou částí.[2][3] První uvádí, že za normálních předpokladů Solowova a neoklasického modelu, pokud (po nějaké době T) kapitál, investice, spotřeba a výstup rostou při konstantních exponenciálních rychlostech, musí být tyto sazby ekvivalentní. Na základě tohoto výsledku druhá část tvrdí, že v rámci takové vyvážené cesty růstu produkční funkce,
(kde
je technologie,
je kapitál a
je práce), lze přepsat tak, že technologické změny ovlivňují výstup pouze jako skalár práce (tj.
) vlastnost známá jako rozšiřování práce nebo Harrodově neutrální technologická změna.
Uzawova věta demonstruje významné omezení běžně používaných neoklasických a Solowových modelů. Uložení předpokladu vyváženého růstu v rámci těchto modelů vyžaduje, aby technologické změny zvyšovaly pracovní sílu. Kontrapozicí nemůže jakákoli výrobní funkce, pro kterou není možné představovat účinek technologie jako skalár na práci, dosáhnout vyváženého růstu.[2]
Prohlášení
Na této stránce bude tečka nad proměnnou označovat její derivaci s ohledem na čas (tj.
). Také tempo růstu proměnné
bude označeno
.
Uzawova věta
(Následující verze je uvedena v Acemoglu (2009) a převzata od Schlichta (2006))
Model s agregovanou produkční funkcí
, kde
a
představuje technologii v čase t (kde
je libovolná podmnožina
pro nějaké přirozené číslo
). Předpokládat, že
vykazuje konstantní výnosy v měřítku
a
. Růst kapitálu v čase t je dán vztahem

kde
je odpisová sazba a
je spotřeba v čase t.
Předpokládejme, že populace roste konstantní rychlostí,
, a že existuje nějaký čas
takové, že pro všechny
,
,
, a
. Pak
1.
; a
2. Pro všechny
, existuje funkce
to je homogenní stupně 1 v jeho dvou argumentech, takže agregační produkční funkce může být reprezentována jako
, kde
a
.
Náčrt důkazu
Lemma 1
Pro každou konstantu
,
.
Důkaz: Dodržujte to pro všechny
,
. Proto,
.
Důkaz věty
Nejprve jsme ukázali, že tempo růstu investic
se musí rovnat tempu růstu kapitálu
(tj.
)
Omezení zdrojů v čase
naznačuje

Podle definice
,
pro všechny
. Z předchozí rovnice tedy vyplývá

pro všechny
. Levá strana je konstanta, zatímco pravá strana roste v
(Lemma 1). Proto,
a tudíž
.
Z národní důchod pro uzavřenou ekonomiku, konečné zboží v ekonomice musí být buď spotřebováno, nebo investováno, tedy pro všechny 

Diferenciace s ohledem na časové výnosy

Vydělením obou stran
výnosy


Od té doby
a
jsou konstanty,
je konstanta. Proto tempo růstu
je nula. Lemma 1 to znamená

Podobně,
. Proto,
.
Dále to ukážeme pro všechny
, výrobní funkce může být reprezentována jako jedna s technologií rozšiřující práci.
Produkční funkce v čase
je

Konstanta návrat k měřítku výrobní majetek (
je homogenní prvního stupně v
a
) to znamená pro všechny
, vynásobením obou stran předchozí rovnice
výnosy

Všimněte si, že
protože
(odkazují na řešení diferenciálních rovnic pro důkaz tohoto kroku). Výše uvedenou rovnici lze tedy přepsat na

Pro všechny
, definovat

a

Kombinace dvou rovnic poskytuje výnosy
pro všechny
.
Podle konstrukce
je také homogenní prvního stupně ve svých dvou argumentech.
Navíc, u lemma 1, tempo růstu o
darováno
. 
Reference