Uzawova věta - Uzawas theorem - Wikipedia

Uzawova věta, také známý jako věta o ustáleném stavu, je věta v teorie ekonomického růstu týkající se formy, která technologická změna může přijmout v Solow – Swan a Ramsey – Cass – Koopmans modely růstu. Poprvé to dokázal japonský ekonom Hirofumi Uzawa.^[1]

Jedna obecná verze věty se skládá ze dvou částí.^[2]^[3] První uvádí, že za normálních předpokladů Solowova a neoklasického modelu, pokud (po nějaké době T) kapitál, investice, spotřeba a výstup rostou při konstantních exponenciálních rychlostech, musí být tyto sazby ekvivalentní. Na základě tohoto výsledku druhá část tvrdí, že v rámci takové vyvážené cesty růstu produkční funkce, ${ displaystyle Y = { tilde {F}} ({ tilde {A}}, K, L)}$ (kde ${ displaystyle A}$ je technologie, ${ displaystyle K}$ je kapitál a ${ displaystyle L}$ je práce), lze přepsat tak, že technologické změny ovlivňují výstup pouze jako skalár práce (tj. ${ displaystyle Y = F (K, AL)}$ ) vlastnost známá jako rozšiřování práce nebo Harrodově neutrální technologická změna.

Uzawova věta demonstruje významné omezení běžně používaných neoklasických a Solowových modelů. Uložení předpokladu vyváženého růstu v rámci těchto modelů vyžaduje, aby technologické změny zvyšovaly pracovní sílu. Kontrapozicí nemůže jakákoli výrobní funkce, pro kterou není možné představovat účinek technologie jako skalár na práci, dosáhnout vyváženého růstu.^[2]

Prohlášení

Na této stránce bude tečka nad proměnnou označovat její derivaci s ohledem na čas (tj. ${ displaystyle { dot {X}} (t) equiv {dX (t) nad dt}}$ ). Také tempo růstu proměnné ${ displaystyle X (t)}$ bude označeno ${ displaystyle g_ {X} equiv { frac {{ dot {X}} (t)} {X (t)}}}$ .

Uzawova věta

(Následující verze je uvedena v Acemoglu (2009) a převzata od Schlichta (2006))

Model s agregovanou produkční funkcí ${ displaystyle Y (t) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (t), K (t), L (t))}$ , kde ${ displaystyle { tilde {F}}: mathbb {R} _ {+} ^ {2} times { mathcal {A}} to mathbb {R} _ {+}}$ a ${ displaystyle { tilde {A}} (t) in { mathcal {A}}}$ představuje technologii v čase t (kde ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je libovolná podmnožina ${ displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$ pro nějaké přirozené číslo ${ displaystyle N}$ ). Předpokládat, že ${ displaystyle { tilde {F}}}$ vykazuje konstantní výnosy v měřítku ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle L}$ . Růst kapitálu v čase t je dán vztahem

${ displaystyle { dot {K}} (t) = Y (t) -C (t) - delta K (t)}$

kde ${ displaystyle delta}$ je odpisová sazba a ${ displaystyle C (t)}$ je spotřeba v čase t.

Předpokládejme, že populace roste konstantní rychlostí, ${ displaystyle L (t) = exp (nt) L (0)}$ , a že existuje nějaký čas ${ displaystyle T < infty}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle t geq T}$ , ${ displaystyle { dot {Y}} (t) / Y (t) = g_ {Y}> 0}$ , ${ displaystyle { dot {K}} (t) / K (t) = g_ {K}> 0}$ , a ${ displaystyle { dot {C}} (t) / C (t) = g_ {C}> 0}$ . Pak

1. ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {K} = g_ {C}}$ ; a

2. Pro všechny ${ displaystyle t geq T}$ , existuje funkce ${ displaystyle F: mathbb {R} _ {+} ^ {2} to mathbb {R} _ {+}}$ to je homogenní stupně 1 v jeho dvou argumentech, takže agregační produkční funkce může být reprezentována jako ${ displaystyle Y (t) = F (K (t), A (t) L (t))}$ , kde ${ displaystyle A (t) in mathbb {R} _ {+}}$ a ${ displaystyle g equiv { dot {A}} (t) / A (t) = g_ {Y} -n}$ .

Náčrt důkazu

Lemma 1

Pro každou konstantu ${ displaystyle alpha}$ , ${ displaystyle g_ {X ^ { alpha} Y} = alpha g_ {X} + g_ {Y}}$ .

Důkaz: Dodržujte to pro všechny ${ displaystyle Z (t)}$ , ${ displaystyle g_ {Z} = { frac {{ dot {Z}} (t)} {Z (t)}} = { frac {d ln Z (t)} {dt}}}$ . Proto, ${ displaystyle g_ {X ^ { alpha} Y} = { frac {d} {dt}} ln [(X (t)) ^ { alpha} Y (t)] = alpha { frac { d ln X (t)} {dt}} + { frac {d ln Y (t)} {dt}} = alpha g_ {X} + g_ {Y}}$ .

Důkaz věty

Nejprve jsme ukázali, že tempo růstu investic ${ displaystyle I (t) = Y (t) -C (t)}$ se musí rovnat tempu růstu kapitálu ${ displaystyle K (t)}$ (tj. ${ displaystyle g_ {I} = g_ {K}}$ )

Omezení zdrojů v čase ${ displaystyle t}$ naznačuje

{ displaystyle { dot {K}} (t) = I (t) - delta K (t)}

Podle definice ${ displaystyle g_ {K}}$ , ${ displaystyle { dot {K}} (t) = g_ {K} K (t)}$ pro všechny ${ displaystyle t geq T}$ . Z předchozí rovnice tedy vyplývá

{ displaystyle g_ {K} + delta = { frac {I (t)} {K (t)}}}

pro všechny ${ displaystyle t geq T}$ . Levá strana je konstanta, zatímco pravá strana roste v ${ displaystyle g_ {I} -g_ {K}}$ (Lemma 1). Proto, ${ displaystyle 0 = g_ {I} -g_ {K}}$ a tudíž

{ displaystyle g_ {I} = g_ {K}}

.

Z národní důchod pro uzavřenou ekonomiku, konečné zboží v ekonomice musí být buď spotřebováno, nebo investováno, tedy pro všechny ${ displaystyle t}$

{ displaystyle Y (t) = C (t) + I (t)}

Diferenciace s ohledem na časové výnosy

{ displaystyle { dot {Y}} (t) = { dot {C}} (t) + { dot {I}} (t)}

Vydělením obou stran ${ displaystyle Y (t)}$ výnosy

{ displaystyle { frac {{ dot {Y}} (t)} {Y (t)}} = { frac {{ dot {C}} (t)} {Y (t)}} + { frac {{ dot {I}} (t)} {Y (t)}} = { frac {{ dot {C}} (t)} {C (t)}} { frac {C ( t)} {Y (t)}} + { frac {{ dot {I}} (t)} {I (t)}} { frac {I (t)} {Y (t)}}}

{ displaystyle Rightarrow g_ {Y} = g_ {C} { frac {C (t)} {Y (t)}} + g_ {I} { frac {I (t)} {Y (t)} } = g_ {C} { frac {C (t)} {Y (t)}} + g_ {I} (1 - { frac {C (t)} {Y (t)}}) = (g_ {C} -g_ {I}) { frac {C (t)} {Y (t)}} + g_ {I}}

Od té doby ${ displaystyle g_ {Y}, g_ {C}}$ a ${ displaystyle g_ {I}}$ jsou konstanty, ${ displaystyle { frac {C (t)} {Y (t)}}}$ je konstanta. Proto tempo růstu ${ displaystyle { frac {C (t)} {Y (t)}}}$ je nula. Lemma 1 to znamená

{ displaystyle g_ {c} -g_ {Y} = 0}

Podobně, ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {I}}$ . Proto, ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {C} = g_ {K}}$ .

Dále to ukážeme pro všechny ${ displaystyle t geq T}$ , výrobní funkce může být reprezentována jako jedna s technologií rozšiřující práci.

Produkční funkce v čase ${ displaystyle T}$ je

{ displaystyle Y (T) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (T), L (T))}

Konstanta návrat k měřítku výrobní majetek ( ${ displaystyle { tilde {F}}}$ je homogenní prvního stupně v ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle L}$ ) to znamená pro všechny ${ displaystyle t geq T}$ , vynásobením obou stran předchozí rovnice ${ displaystyle { frac {Y (t)} {Y (T)}}}$ výnosy

{ displaystyle Y (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}} = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}}, L (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}})}

Všimněte si, že ${ displaystyle { frac {Y (t)} {Y (T)}} = { frac {K (t)} {K (T)}}}$ protože ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {K}}$ (odkazují na řešení diferenciálních rovnic pro důkaz tohoto kroku). Výše uvedenou rovnici lze tedy přepsat na

{ displaystyle Y (t) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (t), L (T) { frac {Y (t)} {Y (T) }})}

Pro všechny ${ displaystyle t geq T}$ , definovat

{ displaystyle A (t) equiv { frac {Y (t)} {L (t)}} { frac {L (T)} {Y (T)}}}

a

{ displaystyle F (K (t), A (t) L (t)) equiv { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (t), L (t) A (t))}

Kombinace dvou rovnic poskytuje výnosy

{ displaystyle F (K (t), A (t) L (t)) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (t), L (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}}) = Y (t)}

pro všechny

{ displaystyle t geq T}

.

Podle konstrukce ${ displaystyle F (K, AL)}$ je také homogenní prvního stupně ve svých dvou argumentech.

Navíc, u lemma 1, tempo růstu o ${ displaystyle A (t)}$ darováno

{ displaystyle { frac {{ dot {A}} (t)} {A (t)}} = { frac {{ dot {Y}} (t)} {Y (t)}} - { frac {{ dot {L}} (t)} {L (t)}} = g_ {Y} -n}

.

{ displaystyle blacksquare}

Reference

^ Uzawa, Hirofumi (léto 1961). „Neutrální vynálezy a stabilita růstové rovnováhy“. Přehled ekonomických studií. 28 (2): 117–124. doi:10.2307/2295709. JSTOR 2295709.
^ ^A ^b Jones, Charles I .; Scrimgeour, Dean (2008). „Nový důkaz Uzawovy věty o ustáleném stavu růstu“. Přehled ekonomiky a statistiky. 90 (1): 180–182. doi:10.1162 / odpočinek.90.1.180. S2CID 57568437.
^ Acemoglu, Daron (2009). Úvod do moderního ekonomického růstu. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. str.60 -61. ISBN 978-0-691-13292-1.

[1] Uzawa, Hirofumi (léto 1961). „Neutrální vynálezy a stabilita růstové rovnováhy“. Přehled ekonomických studií. 28 (2): 117–124. doi:10.2307/2295709. JSTOR 2295709.

[Jones_&_Scrimgeour-2] A ^b Jones, Charles I .; Scrimgeour, Dean (2008). „Nový důkaz Uzawovy věty o ustáleném stavu růstu“. Přehled ekonomiky a statistiky. 90 (1): 180–182. doi:10.1162 / odpočinek.90.1.180. S2CID 57568437.

[3] Acemoglu, Daron (2009). Úvod do moderního ekonomického růstu. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. str.60 -61. ISBN 978-0-691-13292-1.

[1]

[2]

[3]