Ursell funkce - Ursell function
v statistická mechanika , an Ursell funkce nebo připojená korelační funkce , je kumulant a náhodná proměnná . Často jej lze získat součtem přes připojené Feynmanovy diagramy (součet za všechny Feynmanovy diagramy dává korelační funkce ).
Funkce Ursell byla pojmenována po Harold Ursell , který ji představil v roce 1927.
Definice Li X je náhodná proměnná, momenty s n u n X související s exponenciální vzorec :
E ( exp ( z X ) ) = ∑ n s n z n n ! = exp ( ∑ n u n z n n ! ) {displaystyle operatorname {E} (exp (zX)) = součet _ {n} s_ {n} {frac {z ^ {n}} {n!}} = zbývající exp (součet _ {n} u_ {n} { frac {z ^ {n}} {n!}} hned)} (kde E {displaystyle operatorname {E}} očekávání ).
Funkce Ursell pro vícerozměrné náhodné proměnné jsou definovány analogicky k výše uvedenému a stejným způsobem jako vícerozměrné kumulanty.[1]
u n ( X 1 , … , X n ) = ∂ ∂ z 1 ⋯ ∂ ∂ z n log E ( exp ∑ z i X i ) | z i = 0 {displaystyle u_ {n} left (X_ {1}, ldots, X_ {n} ight) = left. {frac {částečné} {částečné z_ {1}}} cdots {frac {částečné} {částečné z_ {n}} } log operatorname {E} left (exp sum z_ {i} X_ {i} ight) ight | _ {z_ {i} = 0}} Ursell funkce jedné náhodné proměnné X se z nich získají nastavením X = X 1 = … = X n
Prvních pár je dáno
u 1 ( X 1 ) = E ( X 1 ) u 2 ( X 1 , X 2 ) = E ( X 1 X 2 ) − E ( X 1 ) E ( X 2 ) u 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = E ( X 1 X 2 X 3 ) − E ( X 1 ) E ( X 2 X 3 ) − E ( X 2 ) E ( X 3 X 1 ) − E ( X 3 ) E ( X 1 X 2 ) + 2 E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 ) u 4 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = E ( X 1 X 2 X 3 X 4 ) − E ( X 1 ) E ( X 2 X 3 X 4 ) − E ( X 2 ) E ( X 1 X 3 X 4 ) − E ( X 3 ) E ( X 1 X 2 X 4 ) − E ( X 4 ) E ( X 1 X 2 X 3 ) − E ( X 1 X 2 ) E ( X 3 X 4 ) − E ( X 1 X 3 ) E ( X 2 X 4 ) − E ( X 1 X 4 ) E ( X 2 X 3 ) + 2 E ( X 1 X 2 ) E ( X 3 ) E ( X 4 ) + 2 E ( X 1 X 3 ) E ( X 2 ) E ( X 4 ) + 2 E ( X 1 X 4 ) E ( X 2 ) E ( X 3 ) + 2 E ( X 2 X 3 ) E ( X 1 ) E ( X 4 ) + 2 E ( X 2 X 4 ) E ( X 1 ) E ( X 3 ) + 2 E ( X 3 X 4 ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) − 6 E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 ) E ( X 4 ) {displaystyle {egin {aligned} u_ {1} (X_ {1}) = {} & operatorname {E} (X_ {1}) u_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) = {} & operatorname {E} (X_ {1} X_ {2}) - operatorname {E} (X_ {1}) operatorname {E} (X_ {2}) u_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = {} & operatorname {E} (X_ {1} X_ {2} X_ {3}) - operatorname {E} (X_ {1}) operatorname {E} (X_ {2} X_ {3} ) -operatorname {E} (X_ {2}) operatorname {E} (X_ {3} X_ {1}) - operatorname {E} (X_ {3}) operatorname {E} (X_ {1} X_ {2} ) + 2operatorname {E} (X_ {1}) operatorname {E} (X_ {2}) operatorname {E} (X_ {3}) u_ {4} vlevo (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4} ight) = {} & operatorname {E} (X_ {1} X_ {2} X_ {3} X_ {4}) - operatorname {E} (X_ {1}) operatorname {E} (X_ {2} X_ {3} X_ {4}) - operatorname {E} (X_ {2}) operatorname {E} (X_ {1} X_ {3} X_ {4}) - operatorname {E} (X_ {3}) operatorname {E} (X_ {1} X_ {2} X_ {4}) - operatorname {E} (X_ {4}) operatorname {E} (X_ {1} X_ {2} X_ {3} ) & - operatorname {E} (X_ {1} X_ {2}) operatorname {E} (X_ {3} X_ {4}) - operatorname {E} (X_ {1} X_ {3}) operatorname {E } (X_ {2} X_ {4}) - operatorname {E} (X_ {1} X_ {4}) operatorname {E} (X_ {2} X_ {3}) & + 2operatorname {E} (X_ { 1} X_ {2}) o peratorname {E} (X_ {3}) operatorname {E} (X_ {4}) + 2operatorname {E} (X_ {1} X_ {3}) operatorname {E} (X_ {2}) operatorname {E} ( X_ {4}) + 2operatorname {E} (X_ {1} X_ {4}) operatorname {E} (X_ {2}) operatorname {E} (X_ {3}) + 2operatorname {E} (X_ {2} X_ {3}) operatorname {E} (X_ {1}) operatorname {E} (X_ {4}) & + 2operatorname {E} (X_ {2} X_ {4}) operatorname {E} (X_ {1 }) operatorname {E} (X_ {3}) + 2operatorname {E} (X_ {3} X_ {4}) operatorname {E} (X_ {1}) operatorname {E} (X_ {2}) - 6operatorname { E} (X_ {1}) operatorname {E} (X_ {2}) operatorname {E} (X_ {3}) operatorname {E} (X_ {4}) konec {zarovnáno}}} Charakterizace Percus (1975) ukázaly, že Ursellovy funkce, považované za multilineární funkce několika náhodných proměnných, jsou jednoznačně určovány až do konstanty tím, že zmizí, kdykoli proměnné X i
Viz také Reference Glimm, Jamesi ; Jaffe, Artur (1987), Kvantová fyzika (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96476-8 PAN 0887102 Percus, J. K. (1975), „Korelační nerovnosti pro Isingovy spinové mřížky“, Comm. Matematika. Phys. , 40 (3): 283–308, Bibcode :1975CMaPh..40..283P , doi :10.1007 / bf01610004 , PAN 0378683 , S2CID 120940116 Ursell, H. D. (1927), „Hodnocení Gibbsova fázového integrálu pro nedokonalé plyny“, Proc. Cambridge Philos. Soc. , 23 (6): 685–697, Bibcode :1927PCPS ... 23..685U , doi :10.1017 / S0305004100011191
