Teorie nejistoty - Uncertainty theory - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Červenec 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Teorie nejistoty je pobočkou matematika založené na normálnosti, monotónnosti, sebe-dualitě, spočetné subadditivitě a axiomech měření produktu^{[je zapotřebí objasnění ]}

Matematické míry pravděpodobnosti pravdivosti události zahrnují teorie pravděpodobnosti, kapacita, fuzzy logika možnost, důvěryhodnost a nejistota.

Čtyři axiomy

Axiom 1. (Axiom normality) ${ displaystyle { mathcal {M}} { Gamma } = 1 { text {pro univerzální sadu}} Gamma}$.

Axiom 2. (Axiom sebe-duality) ${ displaystyle { mathcal {M}} { Lambda } + { mathcal {M}} { Lambda ^ {c} } = 1 { text {pro každou událost}} Lambda}$.

Axiom 3. (Axiom spočítatelné subadditivity) Pro každou spočetnou posloupnost událostí Λ₁, Λ₂, ..., my máme

${ displaystyle { mathcal {M}} vlevo { bigcup _ {i = 1} ^ { infty} Lambda _ {i} vpravo } leq sum _ {i = 1} ^ { infty} { mathcal {M}} { Lambda _ {i} }}$.

Axiom 4. (Axiom opatření produktu) Let ${ displaystyle ( Gamma _ {k}, { mathcal {L}} _ {k}, { mathcal {M}} _ {k})}$ být prostorem nejistoty pro ${ displaystyle k = 1,2, cdots, n}$. Poté je produkt nejistý ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ je nejistá míra splňující produkt σ-algebra

${ displaystyle { mathcal {M}} vlevo { prod _ {i = 1} ^ {n} Lambda _ {i} vpravo } = { podmnožina {1 leq i leq n} { operatorname {min}}} { mathcal {M}} _ {i} { Lambda _ {i} }}$.

Zásada. (Princip maximální nejistoty) Pro každou událost, pokud existuje několik rozumných hodnot, které mohou mít nejisté míry, je události přiřazena hodnota co nejblíže 0,5.

Nejisté proměnné

Nejistá proměnná je a měřitelná funkce ξ z prostoru nejistoty ${ displaystyle ( Gamma, L, M)}$ do soubor z reálná čísla, tj. pro všechny Sada Borel B z reálná čísla, sada ${ displaystyle { xi v B } = { gamma v Gamma | xi ( gamma) v B }}$ je událost.

Distribuce nejistoty

Distribuce nejistoty je indukována k popisu nejistých proměnných.

Definice: rozdělení nejistoty ${ displaystyle Phi (x): R pravá šipka [0,1]}$ nejisté proměnné ξ je definována ${ displaystyle Phi (x) = M { xi leq x }}$.

Teorém(Peng a Iwamura, Dostatečná a nezbytná podmínka pro rozdělení nejistoty) Funkce ${ displaystyle Phi (x): R pravá šipka [0,1]}$ je nejistá distribuce právě tehdy, pokud se jedná o rostoucí funkci kromě ${ displaystyle Phi (x) equiv 0}$ a ${ displaystyle Phi (x) equiv 1}$.

Nezávislost

Definice: Nejisté proměnné ${ displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m}}$ jsou považovány za nezávislé, pokud

${ displaystyle M { cap _ {i = 1} ^ {m} ( xi v B_ {i}) } = { mbox {min}} _ {1 leq i leq m} M { xi _ {i} v B_ {i} }}$

pro všechny sady Borel ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, ldots, B_ {m}}$ reálných čísel.

Věta 1: Nejisté proměnné ${ displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m}}$ jsou nezávislé, pokud

${ displaystyle M { pohár _ {i = 1} ^ {m} ( xi v B_ {i}) } = { mbox {max}} _ {1 leq i leq m} M { xi _ {i} v B_ {i} }}$

pro všechny sady Borel ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, ldots, B_ {m}}$ reálných čísel.

Věta 2: Nechte ${ displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m}}$ být nezávislé nejisté proměnné a ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {m}}$ měřitelné funkce. Pak ${ displaystyle f_ {1} ( xi _ {1}), f_ {2} ( xi _ {2}), ldots, f_ {m} ( xi _ {m})}$ jsou nezávislé nejisté proměnné.

Věta 3: Nechte ${ displaystyle Phi _ {i}}$ být rozložení nejistoty nezávislých nejistých proměnných ${ displaystyle xi _ {i}, quad i = 1,2, ldots, m}$ respektive a ${ displaystyle Phi}$ společné rozdělení nejistoty nejistého vektoru ${ displaystyle ( xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m})}$. Li ${ displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m}}$ jsou nezávislé, pak máme

${ displaystyle Phi (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}) = { mbox {min}} _ {1 leq i leq m} Phi _ {i} (x_ {i})}$

pro všechna reálná čísla ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}}$.

Provozní právo

Teorém: Nechte ${ displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m}}$ být nezávislé nejisté proměnné a ${ displaystyle f: R ^ {n} rightarrow R}$ měřitelná funkce. Pak ${ displaystyle xi = f ( xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m})}$ je nejistá proměnná taková

${ displaystyle { mathcal {M}} { xi v B } = { begin {cases} { underset {f (B_ {1}, B_ {2}, cdots, B_ {n}) podmnožina B} { operatorname {sup}}} ; { podmnožina {1 leq k leq n} { operatorname {min}}} { mathcal {M}} _ {k} { xi _ {k} in B_ {k} }, & { text {if}} { underset {f (B_ {1}, B_ {2}, cdots, B_ {n}) podmnožina B} { operatorname {sup}}} ; { podmnožina {1 leq k leq n} { operatorname {min}}} { mathcal {M}} _ {k} { xi _ {k} v B_ {k} }> 0,5 1 - { podmnožina {f (B_ {1}, B_ {2}, cdots, B_ {n}) podmnožina B ^ {c}} { operatorname {sup}} } ; { podmnožina {1 leq k leq n} { operatorname {min}}} { mathcal {M}} _ {k} { xi _ {k} v B_ {k} } , & { text {if}} { underset {f (B_ {1}, B_ {2}, cdots, B_ {n}) podmnožina B ^ {c}} { operatorname {sup}}} ; { underset {1 leq k leq n} { operatorname {min}}} { mathcal {M}} _ {k} { xi _ {k} v B_ {k} }> 0,5 0,5, & { text {jinak}} end {případy}}}$

kde ${ displaystyle B, B_ {1}, B_ {2}, ldots, B_ {m}}$ jsou sady Borel a ${ displaystyle f (B_ {1}, B_ {2}, ldots, B_ {m}) podmnožina B}$ prostředek${ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}) v B}$ pro všechny${ displaystyle x_ {1} v B_ {1}, x_ {2} v B_ {2}, ldots, x_ {m} v B_ {m}}$.

Očekávaná hodnota

Definice: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná. Pak očekávaná hodnota ${ displaystyle xi}$ je definováno

${ displaystyle E [ xi] = int _ {0} ^ {+ infty} M { xi geq r } dr- int _ {- infty} ^ {0} M { xi leq r } dr}$

za předpokladu, že alespoň jeden ze dvou integrálů je konečný.

Věta 1: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s distribucí nejistoty ${ displaystyle Phi}$. Pokud očekávaná hodnota existuje, pak

${ displaystyle E [ xi] = int _ {0} ^ {+ infty} (1- Phi (x)) dx- int _ {- infty} ^ {0} Phi (x) dx }$.

Věta 2: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s pravidelným rozdělením nejistoty ${ displaystyle Phi}$. Pokud očekávaná hodnota existuje, pak

${ displaystyle E [ xi] = int _ {0} ^ {1} Phi ^ {- 1} ( alpha) d alpha}$.

Věta 3: Nechte ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$ být nezávislé nejisté proměnné s konečnými očekávanými hodnotami. Pak pro všechna reálná čísla ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$, my máme

${ displaystyle E [a xi + b eta] = aE [ xi] + b [ eta]}$.

Rozptyl

Definice: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s konečnou očekávanou hodnotou ${ displaystyle e}$. Pak rozptyl ${ displaystyle xi}$ je definováno

${ displaystyle V [ xi] = E [( xi -e) ^ {2}]}$.

Teorém: Pokud ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s konečnou očekávanou hodnotou, ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou tedy skutečná čísla

${ displaystyle V [a xi + b] = a ^ {2} V [ xi]}$.

Kritická hodnota

Definice: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná a ${ displaystyle alpha in (0,1]}$. Pak

${ displaystyle xi _ {sup} ( alpha) = { mbox {sup}} {r | M { xi geq r } geq alfa }}$

se nazývá α-optimistický hodnota do ${ displaystyle xi}$, a

${ displaystyle xi _ {inf} ( alpha) = { mbox {inf}} {r | M { xi leq r } geq alpha }}$

se nazývá α-pesimistický hodnota do ${ displaystyle xi}$.

Věta 1: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s pravidelným rozdělením nejistoty ${ displaystyle Phi}$. Pak je jeho α-optimistický hodnota a α-pesimistický hodnoty jsou

${ displaystyle xi _ {sup} ( alpha) = Phi ^ {- 1} (1- alpha)}$,

${ displaystyle xi _ {inf} ( alpha) = Phi ^ {- 1} ( alpha)}$.

Věta 2: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná a ${ displaystyle alpha in (0,1]}$. Pak máme

• -li ${ displaystyle alpha> 0,5}$, pak ${ displaystyle xi _ {inf} ( alpha) geq xi _ {sup} ( alpha)}$;
• -li ${ displaystyle alpha leq 0,5}$, pak ${ displaystyle xi _ {inf} ( alpha) leq xi _ {sup} ( alpha)}$.

Věta 3: Předpokládejme to ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$ jsou nezávislé nejisté proměnné a ${ displaystyle alpha in (0,1]}$. Pak máme

${ displaystyle ( xi + eta) _ {sup} ( alpha) = xi _ {sup} ( alpha) + eta _ {sup} { alpha}}$,

${ displaystyle ( xi + eta) _ {inf} ( alpha) = xi _ {inf} ( alpha) + eta _ {inf} { alpha}}$,

${ displaystyle ( xi vee eta) _ {sup} ( alpha) = xi _ {sup} ( alpha) vee eta _ {sup} { alpha}}$,

${ displaystyle ( xi vee eta) _ {inf} ( alpha) = xi _ {inf} ( alpha) vee eta _ {inf} { alpha}}$,

${ displaystyle ( xi klín eta) _ {sup} ( alpha) = xi _ {sup} ( alpha) klín eta _ {sup} { alpha}}$,

${ displaystyle ( xi klín eta) _ {inf} ( alpha) = xi _ {inf} ( alpha) klín eta _ {inf} { alfa}}$.

Entropie

Definice: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s distribucí nejistoty ${ displaystyle Phi}$. Pak je jeho entropie definována

${ displaystyle H [ xi] = int _ {- infty} ^ {+ infty} S ( Phi (x)) dx}$

kde ${ displaystyle S (x) = - t { mbox {ln}} (t) - (1-t) { mbox {ln}} (1-t)}$.

Věta 1(Dai a Chen): Let ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s pravidelným rozdělením nejistoty ${ displaystyle Phi}$. Pak

${ displaystyle H [ xi] = int _ {0} ^ {1} Phi ^ {- 1} ( alpha) { mbox {ln}} { frac { alpha} {1- alpha} } d alpha}$.

Věta 2: Nechte ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$ být nezávislé nejisté proměnné. Pak pro všechna reálná čísla ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$, my máme

${ displaystyle H [a xi + b eta] = | a | E [ xi] + | b | E [ eta]}$.

Věta 3: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná, jejíž rozdělení nejistoty je libovolné, ale očekávaná hodnota ${ displaystyle e}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2}}$. Pak

${ displaystyle H [ xi] leq { frac { pi sigma} { sqrt {3}}}}$.

Nerovnosti

Věta 1(Liu, Markov Nerovnost): Let ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná. Pak pro libovolná daná čísla ${ displaystyle t> 0}$ a ${ displaystyle p> 0}$, my máme

${ displaystyle M {| xi | geq t } leq { frac {E [| xi | ^ {p}]} {t ^ {p}}}}$.

Věta 2 (Liu, Čebyševova nerovnost) Let ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná, jejíž rozptyl ${ displaystyle V [ xi]}$ existuje. Pak pro jakékoli dané číslo${ displaystyle t> 0}$, my máme

${ displaystyle M {| xi -E [ xi] | geq t } leq { frac {V [ xi]} {t ^ {2}}}}$.

Věta 3 (Liu, Nerovnost držitele) Let ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ být kladná čísla s ${ displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$a nechte ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$ být nezávislé nejisté proměnné s ${ displaystyle E [| xi | ^ {p}] < infty}$ a ${ displaystyle E [| eta | ^ {q}] < infty}$. Pak máme

${ displaystyle E [| xi eta |] leq { sqrt [{p}] {E [| xi | ^ {p}]}} { sqrt [{p}] {E [ eta | ^ {p}]}}}$.

Věta 4: (Liu [127], Minkowski Nerovnost) Let ${ displaystyle p}$ být skutečné číslo s ${ displaystyle p leq 1}$a nechte ${ displaystyle xi}$ a ${ displaystyle eta}$ být nezávislé nejisté proměnné s ${ displaystyle E [| xi | ^ {p}] < infty}$ a ${ displaystyle E [| eta | ^ {q}] < infty}$. Pak máme

${ displaystyle { sqrt [{p}] {E [| xi + eta | ^ {p}]}} leq { sqrt [{p}] {E [| xi | ^ {p}] }} + { sqrt [{p}] {E [ eta | ^ {p}]}}}$.

Konvergenční koncept

Definice 1: Předpokládejme to ${ displaystyle xi, xi _ {1}, xi _ {2}, ldots}$ jsou nejisté proměnné definované v prostoru nejistoty ${ displaystyle ( Gamma, L, M)}$. Sekvence ${ displaystyle { xi _ {i} }}$ se říká, že je konvergentní a.s. na ${ displaystyle xi}$ pokud existuje událost ${ displaystyle Lambda}$ s ${ displaystyle M { Lambda } = 1}$ takhle

${ displaystyle { mbox {lim}} _ {i rightarrow infty} | xi _ {i} ( gamma) - xi ( gamma) | = 0}$

pro každého ${ displaystyle gamma v lambda}$. V tom případě píšeme ${ displaystyle xi _ {i} pravá šipka xi}$,tak jako.

Definice 2: Předpokládejme to ${ displaystyle xi, xi _ {1}, xi _ {2}, ldots}$ jsou nejisté proměnné. Říkáme, že sekvence ${ displaystyle { xi _ {i} }}$ konverguje v míře k ${ displaystyle xi}$ -li

${ displaystyle { mbox {lim}} _ {i rightarrow infty} M {| xi _ {i} - xi | leq varepsilon } = 0}$

pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$.

Definice 3: Předpokládejme to ${ displaystyle xi, xi _ {1}, xi _ {2}, ldots}$ jsou nejisté proměnné s konečnými očekávanými hodnotami. Říkáme, že sekvence ${ displaystyle { xi _ {i} }}$ konverguje v průměru k ${ displaystyle xi}$ -li

${ displaystyle { mbox {lim}} _ {i rightarrow infty} E [| xi _ {i} - xi |] = 0}$.

Definice 4: Předpokládejme to ${ displaystyle Phi, phi _ {1}, Phi _ {2}, ldots}$ jsou distribuce nejistoty nejistých proměnných ${ displaystyle xi, xi _ {1}, xi _ {2}, ldots}$, resp. Říkáme, že sekvence ${ displaystyle { xi _ {i} }}$ konverguje v distribuci do ${ displaystyle xi}$ -li ${ displaystyle Phi _ {i} pravá šipka Phi}$ v kterémkoli bodě kontinuity ${ displaystyle Phi}$.

Věta 1: Konvergence v průměru ${ displaystyle Rightarrow}$ Konvergence v míře ${ displaystyle Rightarrow}$ Konvergence v distribuci. Konvergence v průměru ${ displaystyle nLeftrightarrow}$ Konvergence téměř jistě ${ displaystyle nLeftrightarrow}$ Konvergence v distribuci.

Podmíněná nejistota

Definice 1: Nechte ${ displaystyle ( Gamma, L, M)}$ být prostorem nejistoty a ${ displaystyle A, B v L}$. Potom je podmíněná nejistá míra A daného B definována

${ displaystyle { mathcal {M}} {A vert B } = { begin {cases} displaystyle { frac {{ mathcal {M}} {A cap B }} {{ mathcal {M}} {B }}}, & displaystyle { text {if}} { frac {{ mathcal {M}} {A cap B }} {{ mathcal {M} } {B }}} <0,5 displaystyle 1 - { frac {{ mathcal {M}} {A ^ {c} cap B }} {{ mathcal {M}} { B }}}, & displaystyle { text {if}} { frac {{ mathcal {M}} {A ^ {c} cap B }} {{ mathcal {M}} { B }}} <0,5 0,5, & { text {jinak}} end {případy}}}$

${ displaystyle { text {za předpokladu, že}} { mathcal {M}} {B }> 0}$

Věta 1: Nechte ${ displaystyle ( Gamma, L, M)}$ být prostorem nejistoty a B událostí s ${ displaystyle M {B }> 0}$. Pak M {· | B} definované v definici 1 je nejistá míra, a ${ displaystyle ( Gamma, L, M {{ mbox {·}} | B })}$je prostor nejistoty.

Definice 2: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná na ${ displaystyle ( Gamma, L, M)}$. Podmíněná nejistá proměnná ${ displaystyle xi}$ daný B je měřitelná funkce ${ displaystyle xi | _ {B}}$ z prostoru podmíněné nejistoty ${ displaystyle ( Gamma, L, M {{ mbox {·}} | _ {B} })}$ na množinu reálných čísel taková

${ displaystyle xi | _ {B} ( gamma) = xi ( gamma), forall gamma in gamma}$.

Definice 3: Podmíněné rozdělení nejistoty ${ displaystyle Phi rightarrow [0,1]}$ nejisté proměnné ${ displaystyle xi}$ daný B je definován

${ displaystyle Phi (x | B) = M { xi leq x | B }}$

pokud ${ displaystyle M {B }> 0}$.

Věta 2: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s pravidelným rozdělením nejistoty ${ displaystyle Phi (x)}$, a ${ displaystyle t}$ skutečné číslo s ${ displaystyle Phi (t) <1}$. Potom rozdělení podmíněné nejistoty ${ displaystyle xi}$ daný ${ displaystyle xi> t}$ je

$} { frac { Phi (x)} {1- Phi (t)}} land 0,5, & { text {if}} Phi (t) < Phi (x) leq (1+ Phi (t)) / 2 displaystyle { frac { Phi (x) - Phi (t)} {1- Phi (t)}}, a { text {if}} (1+ Phi (t)) / 2 leq Phi (x) end {případy}}}$

Věta 3: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná s pravidelným rozdělením nejistoty ${ displaystyle Phi (x)}$, a ${ displaystyle t}$ skutečné číslo s ${ displaystyle Phi (t)> 0}$. Potom rozdělení podmíněné nejistoty ${ displaystyle xi}$ daný ${ displaystyle xi leq t}$ je

${ displaystyle Phi (x vert (- infty, t]) = { začátek {případy} displaystyle { frac { Phi (x)} { Phi (t)}}, & { text { if}} Phi (x) leq Phi (t) / 2 displaystyle { frac { Phi (x) + Phi (t) -1} { Phi (t)}} lor 0,5 , & { text {if}} Phi (t) / 2 leq Phi (x) < Phi (t) 1, & { text {if}} Phi (t) leq Phi (x) end {cases}}}$

Definice 4: Nechte ${ displaystyle xi}$ být nejistá proměnná. Potom podmíněná očekávaná hodnota ${ displaystyle xi}$ daný B je definován

${ displaystyle E [ xi | B] = int _ {0} ^ {+ infty} M { xi geq r | B } dr- int _ {- infty} ^ {0} M { xi leq r | B } dr}$

za předpokladu, že alespoň jeden ze dvou integrálů je konečný.

Reference

Zdroje

• Xin Gao, některé vlastnosti kontinuálního nejistého měření, Mezinárodní žurnál nejistot, nejasností a systémů založených na znalostech, Sv. 17, č. 3, 419-426, 2009.
• Cuilian You, některé věty o konvergenci nejistých sekvencí, Matematické a počítačové modelování, Sv. 49, č. 3-4, 482-487, 2009.
• Yuhan Liu, Jak generovat nejistá opatření, Sborník příspěvků z desáté národní konference mládeže o informačních a manažerských vědách„3. – 7. Srpna 2008, Luoyang, s. 23–26.
• Baoding Liu, teorie nejistoty, 4. vydání, Springer-Verlag, Berlín, [1] 2009
• Baoding Liu, některé výzkumné problémy v teorii nejistoty, Žurnál nejistých systémů, Vol.3, No.1, 3-10, 2009.
• Yang Zuo, Xiaoyu Ji, teoretický základ nejisté dominance, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 827–832.
• Yuhan Liu a Minghu Ha, očekávaná hodnota funkce nejistých proměnných, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 779–781.
• Zhongfeng Qin, při log neobvyklé nejisté proměnné, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 753–755.
• Jin Peng, Value at Risk a Tail Value at Risk v nejistém prostředí, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 787–793.
• Yi Peng, křivka U a koeficient U v nejistém prostředí, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 815–820.
• Wei Liu, Jiuping Xu, některé vlastnosti operátora očekávané hodnoty pro nejisté proměnné, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 808–811.
• Xiaohu Yang, momenty a nerovnosti ocasu v rámci teorie nejistoty, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 812–814.
• Yuan Gao, Analýza systému k-out-of-n s nejistými životy, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 794–797.
• Xin Gao, Shuzhen Sun, varianční vzorec pro lichoběžníkové nejisté proměnné, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 853–855.
• Zixiong Peng, dostatečná a nezbytná podmínka nejistého nulového produktu, Sborník příspěvků z osmé mezinárodní konference o informačních a manažerských vědách, Kunming, Čína, 20. – 28. Července 2009, s. 798–801.