Provozovatelé OWA typu 1 - Type-1 OWA operators

tento článek potřebuje víc odkazy na další články pomoci integrovat to do encyklopedie. Prosím pomozte vylepšit tento článek přidáním odkazů které jsou relevantní pro kontext v rámci stávajícího textu. (Červenec 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Yagerovy operátory OWA (objednané vážené průměrování)^[1] se používají k agregaci ostrých hodnot v rozhodovacích schématech (jako je multikriteriální rozhodování, multi-expertní rozhodování a multi-kritéria / multi-expertní rozhodování).^[2][3] To je všeobecně přijímáno Fuzzy množiny^[4] jsou vhodnější pro vyjádření preferencí kritérií při rozhodování.

Provozovatelé OWA typu 1^[5][6] byly za tímto účelem navrženy. Operátoři OWA typu 1 poskytují techniku ​​pro přímé agregování nejistých informací s nejistými váhami prostřednictvím mechanismu OWA při měkkém rozhodování a dolování dat, kde jsou tyto nejisté objekty modelovány fuzzy množinami.

Dvě definice pro operátory OWA typu 1 jsou založeny na principu rozšíření Zadeh a ${ displaystyle alpha}$-střihy fuzzy množin. Tyto dvě definice vedou k rovnocenným výsledkům.

Definice

Definice 1

Nechat ${ displaystyle F (X)}$ být množinou fuzzy množin s doménou diskurzu ${ displaystyle X}$, operátor OWA typu 1 je definován takto:^[6]

Vzhledem k jazykovým vahám ${ displaystyle left {{W ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}$ ve formě fuzzy množin definovaných v oblasti diskurzu ${ displaystyle U = [0,1]}$, operátor OWA typu 1 je mapování, ${ displaystyle Phi}$,

${ Displaystyle Phi tlustý F (X) krát cdots krát F (X) longrightarrow F (X)}$

${ displaystyle (A ^ {1}, cdots, A ^ {n}) mapsto Y}$

takhle

${ displaystyle mu _ {Y} (y) = displaystyle sup _ { displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { bar {w}} _ {i} a _ { sigma (i )} = y} left ({ begin {pole} {* {1} l} mu _ {W ^ {1}} (w_ {1}) wedge cdots wedge mu _ {W ^ { n}} (w_ {n}) wedge mu _ {A ^ {1}} (a_ {1}) wedge cdots wedge mu _ {A ^ {n}} (a_ {n}) konec {pole}} vpravo)}$

kde ${ displaystyle { bar {w}} _ {i} = { frac {w_ {i}} { součet _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}}$,a ${ displaystyle sigma dvojtečka {1, cdots, n } longrightarrow {1, cdots, n }}$ je permutační funkce taková, že ${ displaystyle a _ { sigma (i)} geq a _ { sigma (i + 1)}, forall i = 1, cdots, n-1}$, tj., ${ displaystyle a _ { sigma (i)}}$ je ${ displaystyle i}$th nejvyšší prvek v sadě ${ displaystyle left {{a_ {1}, cdots, a_ {n}} right }}$.

Definice 2

Použití alfa řezů fuzzy množin:^[6]

Vzhledem k jazykovým vahám ${ displaystyle left {{W ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}$ ve formě fuzzy množin definovaných v oblasti diskurzu ${ displaystyle U = [0, ; ; 1]}$, pak pro každého ${ displaystyle alpha v [0, ; 1]}$, an ${ displaystyle alpha}$- provozovatel OWA typu 1 s ${ displaystyle alpha}$-úrovňové sady ${ displaystyle left {{W _ { alpha} ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}$ agregovat ${ displaystyle alpha}$-střihy fuzzy množin ${ displaystyle left {{A ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}$ je:

${ displaystyle Phi _ { alpha} left ({A _ { alpha} ^ {1}, ldots, A _ { alpha} ^ {n}} right) = left {{{ frac { sum limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ { sigma (i)}}} { sum limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}} }} left | {w_ {i} ve W _ { alpha} ^ {i}, ; a_ {i}} right. v A _ { alpha} ^ {i}, ; i = 1, ldots, n} right }}$

kde ${ displaystyle W _ { alpha} ^ {i} = {w | mu _ {W_ {i}} (w) geq alpha }, A _ { alpha} ^ {i} = {x | mu _ {A_ {i}} (x) geq alpha }}$, a ${ displaystyle sigma: {; 1, cdots, n ; } až {; 1, cdots, n ; }}$ je permutační funkce taková, že ${ displaystyle a _ { sigma (i)} geq a _ { sigma (i + 1)}, ; forall ; i = 1, cdots, n-1}$, tj., ${ displaystyle a _ { sigma (i)}}$ je ${ displaystyle i}$th největší prvek v sadě ${ displaystyle left {{a_ {1}, cdots, a_ {n}} right }}$.

Věta o zastoupení operátorů OWA typu 1

Vzhledem k n jazykové váhy ${ displaystyle left {{W ^ {i}} right } _ {i = 1} ^ {n}}$ ve formě fuzzy množin definovaných v oblasti diskurzu ${ displaystyle U = [0, ; ; 1]}$a fuzzy množiny ${ displaystyle A ^ {1}, cdots, A ^ {n}}$, pak tu máme^[6]

${ displaystyle Y = G}$

kde ${ displaystyle Y}$ je agregační výsledek získaný definicí 1 a ${ displaystyle G}$ je výsledek získaný v definici 2.

Problémy s programováním pro operátory OWA typu 1

Podle věty o zastoupení operátorů OWA typu 1 lze běžný operátor OWA typu 1 rozložit na řadu ${ displaystyle alpha}$- operátoři OWA typu 1. V praxi je tato řada ${ displaystyle alpha}$-level typ-1 OWA operátoři se používají ke konstrukci výsledné agregační fuzzy sady. Musíme tedy vypočítat pouze levé koncové body a pravé koncové body intervalů ${ displaystyle Phi _ { alpha} left ({A _ { alpha} ^ {1}, cdots, A _ { alpha} ^ {n}} right)}$. Potom je výsledná agregační fuzzy množina konstruována s funkcí členství následovně:

${ displaystyle mu _ {G} (x) = operatorname { bigvee} limity _ { alpha: x in Phi _ { alpha} vlevo ({A _ { alpha} ^ {1}, cdots, A _ { alpha} ^ {n}} right) _ { alpha}} alpha}$

U levých koncových bodů musíme vyřešit následující programovací problém:

${ displaystyle Phi _ { alpha} left ({A _ { alpha} ^ {1}, cdots, A _ { alpha} ^ {n}} right) _ {-} = operatorname { min } limity _ { begin {pole} {l} W _ { alpha -} ^ {i} leq w_ {i} leq W _ { alpha +} ^ {i} A _ { alpha -} ^ {i } leq a_ {i} leq A _ { alpha +} ^ {i} end {pole}} sum limity _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ { sigma (i )} / sum limity _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}$

zatímco u správných koncových bodů musíme vyřešit následující programovací problém:

${ displaystyle Phi _ { alpha} left ({A _ { alpha} ^ {1}, cdots, A _ { alpha} ^ {n}} right) _ {+} = operatorname { max } limity _ { begin {pole} {l} W _ { alpha -} ^ {i} leq w_ {i} leq W _ { alpha +} ^ {i} A _ { alpha -} ^ {i } leq a_ {i} leq A _ { alpha +} ^ {i} end {pole}} sum limity _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ { sigma (i )} / sum limity _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}$

Byla předložena rychlá metoda k vyřešení dvou programovacích problémů, aby bylo možné efektivně provést agregační operaci OWA typu 1, podrobnosti najdete v příspěvku.^[6]

Přístup na úrovni alfa k provozu OWA typu 1

Proces ve třech krocích:^[6]

• Krok 1 - Nastavení ${ displaystyle alpha}$- rozlišení úrovně v [0, 1].
• Krok 2 - Pro každého ${ displaystyle alpha v [0,1]}$,

• Krok 2.1 - Výpočet ${ displaystyle rho _ { alpha +} ^ {i_ {0} ^ { ast}}}$

1. Nechat ${ displaystyle i_ {0} = 1}$;
2. Li ${ displaystyle rho _ { alpha +} ^ {i_ {0}} geq A _ { alpha +} ^ { sigma (i_ {0})}}$, stop, ${ displaystyle rho _ { alpha +} ^ {i_ {0}}}$ je řešení; jinak přejděte ke kroku 2.1-3.
3. ${ displaystyle i_ {0} leftarrow i_ {0} +1}$, přejděte ke kroku 2.1-2.

• Krok 2.2 Výpočet${ displaystyle rho _ { alpha -} ^ {i_ {0} ^ { ast}}}$

1. Nechat ${ displaystyle i_ {0} = 1}$;
2. Li ${ displaystyle rho _ { alpha -} ^ {i_ {0}} geq A _ { alpha -} ^ { sigma (i_ {0})}}$, stop, ${ displaystyle rho _ { alpha -} ^ {i_ {0}}}$ je řešení; jinak přejděte na krok 2.2-3.
3. ${ displaystyle i_ {0} leftarrow i_ {0} +1}$, přejděte ke kroku Krok 2.2-2.

• Krok 3 - Sestavení agregační výsledné fuzzy množiny ${ displaystyle G}$ na základě všech dostupných intervalů ${ displaystyle left [{ rho _ { alpha -} ^ {i_ {0} ^ { ast}}, ; rho _ { alpha +} ^ {i_ {0} ^ { ast}} }že jo]}$:

${ displaystyle mu _ {G} (x) = operatorname { bigvee} limity _ { alpha: x in left [{ rho _ { alpha -} ^ {i_ {0} ^ { ast}}, ; rho _ { alpha +} ^ {i_ {0} ^ { ast}}} right]} alpha}$

Speciální případy

• Libovolní operátoři OWA, jako maximální, minimální, průměrní operátoři;^[1]
• Připojte se k operátorům fuzzy množin (typu 1),^[7] tj. fuzzy maximální operátory;
• Seznamte se s operátory fuzzy množin (typu 1),^[7][8] tj. fuzzy minimální operátory;
• Spojovací operátoři fuzzy množin (typu 1);^[6][9]
• Setkejte se s podobnými operátory fuzzy množin (typu 1).^[6][9]

Zobecnění

Provozovatelé OWA typu 2^[10] bylo navrženo agregovat fuzzy sady typu 2 pro měkké rozhodování.

Reference