Uspořádaný vážený operátor agregace průměrování - Ordered weighted averaging aggregation operator

V aplikované matematice - konkrétně v fuzzy logika - objednané operátory váženého průměrování (OWA) poskytnout a parametrizováno třída operátorů agregace středních typů. Byli představeni Ronald R. Yager. Mnoho pozoruhodných průměrných operátorů, jako je max, aritmetický průměr, medián a min., jsou členy této třídy. Byly široce používány v výpočetní inteligence kvůli jejich schopnosti modelovat jazykově vyjádřené agregační pokyny.

Definice

Formálně OWA operátor dimenze ${displaystyle n}$ je mapování ${displaystyle F: R_ {n} ightarrow R}$ který má přidruženou sbírku závaží ${displaystyle W = [w_ {1}, ldots, w_ {n}]}$ ležící v jednotkovém intervalu a sčítání do jedné as

${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = součet _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} b_ {j}}$

kde ${displaystyle b_ {j}}$ je j^th největší z ${displaystyle a_ {i}}$.

Výběrem jiného Ž lze implementovat různé agregační operátory. Operátor OWA je nelineární operátor v důsledku procesu stanovení b_j.

Vlastnosti

Operátor OWA je průměrný operátor. to je ohraničený, monotóní, symetrický, a idempotentní, jak je definováno níže.

Ohraničený	${displaystyle min (a_ {1}, ldots, a_ {n}) leq F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) leq max (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$
Monotóní	${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) geq F (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ -li ${displaystyle a_ {i} geq g_ {i}}$ pro ${displaystyle i = 1,2, ldots, n}$
Symetrický	${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = F (a_ {oldsymbol {pi (1)}}, ldots, a_ {oldsymbol {pi (n)}})}$ -li ${displaystyle {oldsymbol {pi}}}$ je permutační mapa
Idempotentní	${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = a}$ padám ${displaystyle a_ {i} = a}$

Pozoruhodné operátory OWA

${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = max (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$ -li ${displaystyle w_ {1} = 1}$ a ${displaystyle w_ {j} = 0}$ pro ${displaystyle jeq 1}$

${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = min (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$ -li ${displaystyle w_ {n} = 1}$ a ${displaystyle w_ {j} = 0}$ pro ${displaystyle jeq n}$

${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = mathrm {average} (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$ -li ${displaystyle w_ {j} = {frac {1} {n}}}$ pro všechny ${displaystyle jin [1, n]}$

Charakteristické rysy

K charakterizaci operátorů OWA byly použity dvě funkce. První je postojový charakter (orness).

To je definováno jako

${displaystyle A-C (W) = {frac {1} {n-1}} součet _ {j = 1} ^ {n} (n-j) w_ {j}.}$

Je známo že ${displaystyle A-C (W) v [0,1]}$.

Kromě toho A − C(max) = 1, A - C (ave) = A - C (med) = 0,5 a A - C (min) = 0. Tedy A - C jde od 1 do 0, zatímco jdeme z agregace Max na Min. Postoj charakterizuje podobnost agregace s operací OR (OR je definována jako Max).

Druhým rysem je disperze. To je definováno jako

${displaystyle H (W) = - součet _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ln (w_ {j}).}$

Alternativní definice je ${displaystyle E (W) = součet _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ^ {2}.}$ Disperze charakterizuje, jak jednotně jsou argumenty používány

Provozovatelé agregace OWA typu 1

Výše uvedené Yagerovy operátory OWA se používají k agregaci ostrých hodnot. Můžeme agregovat fuzzy množiny v mechanismu OWA? TheProvozovatelé OWA typu 1 byly za tímto účelem navrženy. Takže operátoři OWA typu 1 poskytuje nám novou techniku ​​pro přímou agregaci nejistých informací s nejistými váhami pomocí mechanismu OWA při měkkém rozhodování a těžbě dat, kde jsou tyto nejisté objekty modelovány fuzzy množinami.

The operátor OWA typu 1 je definován podle alfa řezů fuzzy množin takto:

Vzhledem k n jazykové váhy ${displaystyle left {{W ^ {i}} ight} _ {i = 1} ^ {n}}$ ve formě fuzzy množin definovaných v oblasti diskurzu ${displaystyle U = [0, ;; 1]}$, pak pro každého ${displaystyle alpha v [0,; 1]}$, an ${displaystyle alpha}$- provozovatel OWA typu 1 s ${displaystyle alpha}$-úrovňové sady ${displaystyle left {{W_ {alpha} ^ {i}} ight} _ {i = 1} ^ {n}}$ agregovat ${displaystyle alpha}$-střihy fuzzy množin ${displaystyle left {{A ^ {i}} ight} _ {i = 1} ^ {n}}$ je uveden jako

${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) = left {{{frac {sum limits _ {i = 1} ^ {n } {w_ {i} a_ {sigma (i)}}} {limity součtu _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}} vlevo | {w_ {i} ve W_ {alpha} ^ { i} ,; a_ {i}} ight.in A_ {alpha} ^ {i} ,; i = 1, ldots, n} ight}}$

kde ${displaystyle W_ {alpha} ^ {i} = {w | mu _ {W_ {i}} (w) geq alpha}, A_ {alpha} ^ {i} = {x | mu _ {A_ {i}} ( x) geq alpha}}$, a ${displaystyle sigma: {; 1, ldots, n;} o {; 1, ldots, n;}}$ je permutační funkce taková, že ${displaystyle a_ {sigma (i)} geq a_ {sigma (i + 1)} ,; forall; i = 1, ldots, n-1}$, tj., ${displaystyle a_ {sigma (i)}}$ je ${displaystyle i}$th největší prvek v sadě ${displaystyle left {{a_ {1}, ldots, a_ {n}} ight}}$.

Výpočet typ 1 OWA výstup je implementován výpočtem levých koncových bodů a pravých koncových bodů intervalů ${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight)}$:${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) _ {-}}$ a ${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) _ {+},}$kde ${displaystyle A_ {alpha} ^ {i} = [A_ {alpha -} ^ {i}, A_ {alpha +} ^ {i}], W_ {alpha} ^ {i} = [W_ {alpha -} ^ { i}, W_ {alpha +} ^ {i}]}$. Pak funkce členství výsledné agregační fuzzy množiny je:

${displaystyle mu _ {G} (x) = mathop {vee} _ {alpha: xin Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, cdots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) _ {alpha}} alpha}$

U levých koncových bodů musíme vyřešit následující programovací problém:

${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, cdots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) _ {-} = minimální limity _ {egin {pole} {l} W_ { alpha -} ^ {i} leq w_ {i} leq W_ {alpha +} ^ {i} A_ {alpha -} ^ {i} leq a_ {i} leq A_ {alpha +} ^ {i} konec {pole} } limity součtu _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a_ {sigma (i)} / limity součtu _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}$

zatímco u správných koncových bodů musíme vyřešit následující programovací problém:

${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, cdots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) _ {+} = maximální limity _ {egin {pole} {l} W_ { alpha -} ^ {i} leq w_ {i} leq W_ {alpha +} ^ {i} A_ {alpha -} ^ {i} leq a_ {i} leq A_ {alpha +} ^ {i} konec {pole} } limity součtu _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a_ {sigma (i)} / limity limitu _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}$

Tento papír představila rychlou metodu řešení dvou programovacích problémů, aby bylo možné efektivně provádět agregační operaci OWA typu 1.

Reference

• Yager, R. R., „O organizovaných vážených průměrujících agregačních operátorech při rozhodování podle více kritérií,“ IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 18, 183–190, 1988.
• Yager, R. R. a Kacprzyk, J., Uspořádaní vážení průměrující operátoři: teorie a aplikace Kluwer: Norwell, MA, 1997.
• Liu, X., „Ekvivalence řešení rozdílů minimax a problémů s minimálními odchylkami pro operátory OWA,“ International Journal of přibližného uvažování 45, 68–81, 2007.
• Torra, V. a Narukawa, Y., Modeling Decisions: Information Fusion and Aggregation Operators, Springer: Berlin, 2007.
• Majlender, P., „OWA operátoři s maximální Rényiho entropií,“ Fuzzy Sets and Systems 155, 340–360, 2005.
• Szekely, G. J. a Buczolich, Z., „Kdy je vážený průměr objednaných prvků vzorku odhadem maximální pravděpodobnosti parametru umístění?“ Advances in Applied Mathematics 10, 1989, 439–456.
• S.-M. Zhou, F. Chiclana, RI John a JM Garibaldi, „operátoři OWA typu 1 pro agregaci nejistých informací s nejistými váhami vyvolanými lingvistickými kvantifikátory typu 2,“ Fuzzy Sets and Systems, Vol.159, No.24, pp. 3281 –3296, 2008 [1]
• S.-M. Zhou, F. Chiclana, R. I. John a J. M. Garibaldi, „Agregace na úrovni alfa: praktický přístup k operaci OWA typu 1 pro agregaci nejistých informací s aplikacemi na léčbu rakoviny prsu,“ IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, sv. 23, č. 10, 2011, s. 1455–1468.[2]
• S.-M. Zhou, R. I. John, F. Chiclana a J. M. Garibaldi, „O agregaci nejistých informací operátory OWA typu 2 pro měkké rozhodování“, International Journal of Intelligent Systems, sv. 25, č. 6, s. 540–558, 2010.[3]