Zkroucené hesiánské křivky - Twisted Hessian curves
v matematika, Kroucená Hessianova křivka představuje zobecnění Hesenské křivky; bylo představeno v kryptografie eliptické křivky zrychlit vzorce sčítání a zdvojnásobení a mít silně jednotnou aritmetiku. V některých operacích (viz poslední části) je rychlost blízká Edwardsovy křivky.
Definice

Nechat K. být pole. Podle[1] zkroucené hesenské křivky byly zavedeny Bernstein, Lange a Kohel.
Zkroucená hesenská forma dovnitř afinní souřadnice darováno:
kde a a A, d v K.
Tyto křivky jsou birationally ekvivalent na Hesenské křivky.
Hessianova křivka je jen speciální případ zkroucené Hessianovy křivky s a = 1.
Vzhledem k rovnici A · X3 + y3 + 1 = d · X · y, Všimněte si, že:
-li A má kořen krychle v K.existuje jedinečný b takhle A = b3Jinak je nutné zvážit pole rozšíření z K. (např., K.(A1/3)). Pak od té doby b3 · X3 = bx3, definování t = b · X, k provedení transformace je potřeba následující rovnice (v hesenské formě):
.
To znamená, že Twisted Hessian křivky jsou birationally ekvivalentní eliptické křivky v Weierstrassova forma.
Skupinové právo
Je zajímavé analyzovat skupinové právo eliptické křivky, definující vzorce sčítání a zdvojení (protože jednoduchá analýza výkonu a analýza diferenciálního výkonu útoky jsou založeny na době běhu těchto operací). Obecně platí, že zákon o skupině je definován následujícím způsobem: pokud tři body leží ve stejné linii, sečtou se až nula. Touto vlastností tedy explicitní vzorce pro zákon skupiny závisí na tvaru křivky.
Nechat P = (X1, y1) být bod, pak jeho inverzní je -P = (X1/y1, 1/y1) v rovině. V projektivních souřadnicích, let P = (X : Y : Z) být jeden bod, pak -P = (X1/Y1 : 1/Y1 : Z) je inverzní k P.
Kromě toho neutrální prvek (v afinní rovině) je: θ = (0, −1) a v projektivních souřadnicích: θ = (0: −1: 1).
V některých aplikacích kryptografie eliptické křivky a metoda eliptické křivky celočíselná faktorizace (ECM ) je nutné vypočítat skalární množení z P, řekněme [n] P pro některé celé číslo n, a jsou založeny na zdvojnásobit a přidat metoda; je tedy potřeba vzorce pro sčítání a zdvojení.
Sčítání a zdvojnásobení vzorců pro toto eliptická křivka lze definovat pomocí afinních souřadnic pro zjednodušení zápisu:
Sčítací vzorce
Nechat p = (X1, y1) a Q = (X2, y2); pak, R = P + Q = (X3, y3) je dán následujícími rovnicemi:
Zdvojnásobení vzorců
Nechat P = (X, y); pak [2]P = (X1, y1) je dán následujícími rovnicemi:
Algoritmy a příklady
Zde jsou uvedeny některé efektivní algoritmy zákona sčítání a zdvojení; mohou být důležité v kryptografických výpočtech a k tomuto účelu se používají projektivní souřadnice.
Přidání
Cena tohoto algoritmu je 12 násobení, jedno násobení (konstantou) a 3 sčítání.
Příklad:
nechat P1 = (1: -1: 1) a P2 = (−2: 1: 1) jsou body přes zkroucenou pytlovitou křivku s a = 2 a d = -2. Pak R = P1 + P2 darováno:
To znamená, R= (0 : −3 : −3).
Zdvojnásobení
Cena tohoto algoritmu je 3 násobení, 1 násobení konstantou, 3 sčítání a 3 mocniny krychle. To je nejlepší výsledek získaný pro tuto křivku.
Příklad:
nechat P = (1: -1: 1) být bodem nad křivkou definovanou a = 2 a d = -2, jak je uvedeno výše, pak R = [2]P = (X3 : y3 : z3) darováno:
To je R = (−2 : −3 : 5).
Viz také
externí odkazy
Reference
- ^ „Zkroucené hesiánské křivky“. Citováno 28. února 2010.