Tuckerův rozklad - Tucker decomposition - Wikipedia

V matematice Tuckerův rozklad rozkládá se tenzor do sady matic a jednoho malého tenzoru jádra. Je pojmenován po Ledyard R. Tucker^[1]i když se to vrací zpět Hitchcock v roce 1927.^[2]Zpočátku popsáno jako rozšíření tří režimů faktorová analýza a analýza hlavních komponent ve skutečnosti to lze zobecnit na analýzu vyšších režimů, která se také nazývá Dekompozice singulární hodnoty vyššího řádu (HOSVD ).

Lze jej považovat za pružnější PARAFAC (paralelní faktorová analýza) model. V PARAFAC je tenzor jádra omezen na „diagonální“.

V praxi se Tuckerův rozklad používá jako nástroj pro modelování. Například se používá k modelování třícestných (nebo vyšších cest) dat pomocí relativně malého počtu komponent pro každý ze tří nebo více režimů a komponenty jsou navzájem propojeny pomocí tří (nebo vyšších) ) způsob jádra pole. Parametry modelu jsou odhadovány takovým způsobem, že vzhledem k pevnému počtu komponent se modelovaná data optimálně podobají skutečným datům ve smyslu nejmenších čtverců. Model poskytuje souhrn informací v datech stejným způsobem jako analýza hlavních komponent pro obousměrná data.

Pro tenzor 3. řádu ${ displaystyle T v F ^ {d_ {1} krát d_ {2} krát d_ {3}}}$, kde ${ displaystyle F}$ je buď ${ displaystyle mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$, Tuckerův rozklad lze označit následovně,

kde ${ displaystyle { mathcal {T}} ve F ^ {d_ {1} krát d_ {2} krát d_ {3}}}$ je tenzor jádra, tenzor 3. řádu, který obsahuje singulární hodnoty 1-režimu, 2-režimu a 3-režimu ${ displaystyle T}$, které jsou definovány jako Frobeniova norma 1-režimových, 2-režimových a 3-režimových plátků tenzoru ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ resp. ${ displaystyle U ^ {(1)}, U ^ {(2)}, U ^ {(3)}}$ jsou jednotkové matice v ${ displaystyle F ^ {d_ {1} krát d_ {1}}, F ^ {d_ {2} krát d_ {2}}, F ^ {d_ {3} krát d_ {3}}}$ resp. The j- produkt v režimu (j = 1, 2, 3) z ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ podle ${ displaystyle U ^ {(j)}}$ je označen jako ${ displaystyle { mathcal {T}} krát U ^ {(j)}}$ se záznamy jako

${ displaystyle { begin {aligned} ({ mathcal {T}} times _ {1} U ^ {(1)}) (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) & = součet _ {i_ {1} = 1} ^ {d_ {1}} { mathcal {T}} (i_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) U ^ {(1)} (d_ { 1}, i_ {1}) ({ mathcal {T}} times _ {2} U ^ {(2)}) (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) & = sum _ {i_ {2} = 1} ^ {d_ {2}} { mathcal {T}} (d_ {1}, i_ {2}, d_ {3}) U ^ {(2)} (d_ {2}, i_ {2}) ({ mathcal {T}} times _ {3} U ^ {(3)}) (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) & = sum _ {i_ {3} = 1} ^ {d_ {3}} { mathcal {T}} (d_ {1}, d_ {2}, i_ {3}) U ^ {(3)} ( d_ {3}, i_ {3}) end {zarovnáno}}}$

Existují dva speciální případy rozkladu Tuckera:

Tucker1: pokud ${ displaystyle U ^ {(2)}}$ a ${ displaystyle U ^ {(3)}}$ jsou tedy identita ${ displaystyle T = { mathcal {T}} krát _ {1} U ^ {(1)}}$

Tucker2: pokud ${ displaystyle U ^ {(3)}}$ je tedy identita ${ displaystyle T = { mathcal {T}} krát _ {1} U ^ {(1)} krát _ {2} U ^ {(2)}}$ .

ZÁSADNÍ rozklad ^[3] lze považovat za speciální případ Tuckera, kde ${ displaystyle U ^ {(3)}}$ je identita a ${ displaystyle U ^ {(1)}}$ je rovný ${ displaystyle U ^ {(2)}}$ .

L1-Tucker rozklad tenzoru je varianta Tuckera založená na normě L1, odolná proti poškození.^[4][5][6]

Viz také

• Rozklad singulární hodnoty vyššího řádu
• Multilineární analýza hlavních komponent

Reference

Tento statistika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.