Koncová nula - Trailing zero

v matematika, koncové nuly jsou posloupností 0 v desetinný zastoupení (nebo obecněji v jakémkoli) poziční reprezentace ) čísla, po kterém už žádný jiný číslice následovat.

Koncové nuly napravo od a desetinná čárka, stejně jako v 12.3400, neovlivňují hodnotu čísla a mohou být vynechány, pokud je zajímavá pouze jeho číselná hodnota. To platí i v případě nul opakovat nekonečně. Například v lékárna, koncové nuly jsou vynechány dávka hodnoty, aby se zabránilo chybnému čtení Koncové nuly však mohou být užitečné pro označení počtu významné postavy například při měření. V takovém kontextu by bylo „zjednodušení“ čísla odstraněním koncových nul nesprávné.

Počet koncových nul v nenulové základněb celé číslo n se rovná exponentu nejvyššího výkonu b který rozděluje n. Například 14000 má tři koncové nuly, a je proto dělitelné 1000 = 10³, ale ne do 10⁴. Tato vlastnost je užitečná při hledání malých faktorů v celočíselná faktorizace. Nějaký počítačové architektury mít počítat koncové nuly provoz v jejich instrukční sada pro efektivní stanovení počtu koncových nulových bitů ve strojovém slově.

Faktoriální

Počet koncových nul v desetinné vyjádření z n! faktoriál a nezáporné celé číslo n, je prostě multiplicita primární faktor 5 palců n!. To lze určit pomocí tohoto zvláštního případu de Polignacova formule:^[1]

${displaystyle f (n) = součet _ {i = 1} ^ {k} leftlfloor {frac {n} {5 ^ {i}}} ightfloor = leftlfloor {frac {n} {5}} ightfloor + leftlfloor {frac { n} {5 ^ {2}}} ightfloor + leftlfloor {frac {n} {5 ^ {3}}} ightfloor + cdots + leftlfloor {frac {n} {5 ^ {k}}} ightfloor ,,}$

kde k musí být zvolen tak, aby

${displaystyle 5 ^ {k + 1}> n ,,}$

přesněji

${displaystyle 5 ^ {k} leq n <5 ^ {k + 1},}$

${displaystyle k = leftlfloor log _ {5} nightfloor,}$

a ${displaystyle lfloor afloor}$ označuje funkce podlahy aplikován na A. Pro n = 0, 1, 2, ... to je

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, ... (sekvence A027868 v OEIS ).

Například 5³ > 32, a tedy 32! = 263130836933693530167218012160000000 končí v

${displaystyle leftlfloor {frac {32} {5}} ightfloor + leftlfloor {frac {32} {5 ^ {2}}} ightfloor = 6 + 1 = 7,}$

nuly. Li n <5, nerovnost je splněna k = 0; v takovém případě je součet prázdný, dává odpověď 0.

Vzorec ve skutečnosti počítá počet faktorů 5 n!, ale protože existuje alespoň tolik faktorů 2, je to ekvivalentní počtu faktorů 10, z nichž každý dává ještě jednu koncovou nulu.

Definování

${displaystyle q_ {i} = leftlfloor {frac {n} {5 ^ {i}}} ightfloor ,,}$

následující relace opakování drží:

${displaystyle {egin {aligned} q_ {0} ,,,,, & = ,,, n, quad q_ {i + 1} & = leftlfloor {frac {q_ {i}} {5}} ightfloor., konec {zarovnaný}}}$

To lze použít ke zjednodušení výpočtu podmínek součtu, které lze ihned zastavit q _i dosáhne nuly. Kondice 5^k+1 > n je ekvivalentní k q _k+1 = 0.

Viz také

• Vedoucí nula
• Koncová číslice

Reference

externí odkazy

• Proč jsou koncové zlomkové nuly důležité? pro některé příklady, kdy jsou koncové nuly významné
• Počet koncových nul pro libovolný faktoriál Program v Pythonu pro výpočet počtu koncových nul pro libovolný faktoriál