Optimalizace topologie - Topology optimization

Optimalizace topologie (NA) je matematická metoda, která optimalizuje rozložení materiálu v daném konstrukčním prostoru pro danou sadu zatížení, okrajové podmínky a omezení s cílem maximalizovat výkon systému. TO se liší od optimalizace tvaru a optimalizace dimenzování ve smyslu, že návrh může dosáhnout jakéhokoli tvaru v návrhovém prostoru, místo toho, aby se zabýval předdefinovanými konfiguracemi.

Konvenční TO formulace používá a Metoda konečných prvků (FEM) k vyhodnocení konstrukčního výkonu. Návrh je optimalizován buď pomocí gradientu matematické programování techniky, jako je algoritmus kritérií optimality a způsob přesunu asymptot nebo bez gradientu založené algoritmy jako např genetické algoritmy.

Optimalizace topologie má širokou škálu aplikací v letectví, strojírenství, biochemii a stavebnictví. V současné době inženýři většinou používají TO na koncepční úrovni procesu návrhu. Vzhledem k volným formám, které se přirozeně vyskytují, je výsledek často obtížný. Z tohoto důvodu je výsledek plynoucí z TO často dolaďován na vyrobitelnost. Přidání omezení do formulace za účelem zvýšit vyrobitelnost je aktivní oblastí výzkumu. V některých případech lze výsledky z TO přímo vyrobit pomocí aditivní výroba; TO je tedy klíčovou součástí design pro aditivní výrobu.

Problémové prohlášení

Problém s optimalizací topologie lze napsat v obecné podobě optimalizační problém tak jako:

{ displaystyle { begin {aligned} & { underset { rho} { operatorname {minimalizovat}}} && F = F ( mathbf {u ( rho), rho}) = int _ { Omega} f ( mathbf {u ( rho), rho}) mathrm {d} V & operatorname {subject ; to} && G_ {0} ( rho) = int _ { Omega} rho mathrm {d} V-V_ {0} leq 0 &&& G_ {j} ( mathbf {u} ( rho), rho) leq 0 { text {with}} j = 1, .. ., m end {zarovnáno}}}

Prohlášení o problému obsahuje následující:

An Objektivní funkce ${ displaystyle F ( mathbf {u ( rho), rho})}$ . Tato funkce představuje množství, které je minimalizováno pro nejlepší výkon. Nejběžnější objektivní funkcí je poddajnost, kde minimalizace poddajnosti vede k maximalizaci tuhosti konstrukce.
Distribuce materiálu jako problémová proměnná. To je popsáno hustotou materiálu v každém místě ${ displaystyle rho ( mathbf {u})}$ . Materiál je buď přítomný, označený 1, nebo nepřítomný, označený 0. ${ displaystyle mathbf {u}}$ je stavové pole, které splňuje lineární nebo nelineární stavovou rovnici.
Designový prostor ${ displaystyle ( Omega)}$ . To označuje povolený objem, ve kterém může design existovat. Požadavky na montáž a balení, přístupnost člověka a nástrojů jsou některé z faktorů, které je třeba vzít v úvahu při identifikaci tohoto prostoru. S definicí návrhového prostoru se oblasti nebo komponenty v modelu, které nelze v průběhu optimalizace upravit, považují za oblasti bez návrhu.
${ displaystyle scriptstyle m}$ omezení ${ displaystyle G_ {j} ( mathbf {u} ( rho), rho) leq 0}$ charakteristika, kterou musí řešení splňovat. Příkladem je maximální množství materiálu k distribuci (objemové omezení) nebo maximální hodnoty napětí.

Hodnocení ${ displaystyle mathbf {u ( rho)}}$ často zahrnuje řešení diferenciální rovnice. To se nejčastěji provádí pomocí Metoda konečných prvků protože tyto rovnice nemají známé analytické řešení.

Metodiky provádění

K řešení problémů TO jsou použity různé metodiky implementace.

Oddělený

Řešení problémů TO v diskrétním smyslu se provádí diskretizací návrhové domény na konečné prvky. Hustoty materiálu uvnitř těchto prvků jsou poté považovány za problémové proměnné. V tomto případě hustota materiálu jednoho indikuje přítomnost materiálu, zatímco nula označuje nepřítomnost materiálu. Vzhledem k dosažitelné topologické složitosti designu závislé na počtu prvků je upřednostňováno velké množství. Velké množství konečných prvků zvyšuje dosažitelnou topologickou složitost, ale stojí za to. Zaprvé se řešení systému FEM stává nákladnějším. Zadruhé, algoritmy, které zvládnou velké množství (několik tisíc prvků není neobvyklé) diskrétních proměnných s více omezeními, nejsou k dispozici. Navíc jsou neprakticky citlivé na variace parametrů.^[1] V literatuře byly hlášeny problémy s až 30 000 proměnnými.^[2]

Řešení problému spojitými proměnnými

Dříve uvedená složitost řešení problémů TO pomocí binárních proměnných způsobila, že komunita začala hledat další možnosti. Jedním z nich je modelování hustot pomocí spojitých proměnných. Hustoty materiálu nyní mohou také dosahovat hodnot mezi nulou a jednou. K dispozici jsou algoritmy založené na přechodu, které zpracovávají velké množství spojitých proměnných a více omezení. Vlastnosti materiálu však musí být modelovány kontinuálně. To se provádí interpolací. Jednou z nejvíce implementovaných metod interpolace je Pevný izotropní materiál s penalizací metoda (SIMP).^[3]^[4] Tato interpolace je v zásadě mocenským zákonem ${ displaystyle E ; = ; E_ {0} , + , rho ^ {p} (E_ {1} -E_ {0})}$ . Interpoluje Youngův modul materiálu do pole skalárního výběru. Hodnota parametru penalizace ${ displaystyle p}$ se obecně bere mezi ${ displaystyle [1, , 3]}$ . Ukázalo se, že to potvrzuje mikrostrukturu materiálů.^[5] V metodě SIMP je přidána dolní mez Youngova modulu, ${ displaystyle E_ {0}}$ , aby se ujistil, že derivace objektivní funkce jsou nenulové, když se hustota stane nulovou. Čím vyšší je faktor penalizace, tím více SIMP penalizuje algoritmus při použití nebinárních hustot. Bohužel parametr penalizace také zavádí nekonvexnost^[6].

Tvarové deriváty

Topologické deriváty

Nastavena úroveň

Fázové pole

Evoluční strukturální optimalizace

Komerční software

Na trhu existuje několik komerčních optimalizačních software pro topologii. Většina z nich používá optimalizaci topologie jako nápovědu, jak by měl vypadat optimální design, a je nutná ruční konstrukce nové geometrie. Existuje několik řešení, která vytvářejí optimální návrhy připravené pro aditivní výrobu.

Příklady

V tomto výsledku jsou zobrazeny vzory šachovnicových desek

Výsledek optimalizace topologie při použití filtrování

Optimalizace topologie problému s dodržováním předpisů

Strukturální soulad

Tuhá struktura je konstrukce, která má nejmenší možný posun, když je dána určitá sada okrajových podmínek. Globálním měřítkem posunů je deformační energie (nazývaná také poddajnost) konstrukce za předepsaných okrajových podmínek. Čím nižší je deformační energie, tím vyšší je tuhost konstrukce. Výrok o problému tedy zahrnuje objektivní funkci deformační energie, kterou je třeba minimalizovat.

Na široké úrovni lze vizualizovat, že čím více materiálu, tím menší průhyb, protože bude více materiálu odolávajícího zatížení. Optimalizace tedy vyžaduje nepřátelské omezení, omezení objemu. To je ve skutečnosti nákladový faktor, protože bychom nechtěli utratit spoustu peněz za materiál. K získání celkového využitého materiálu lze provést integraci výběrového pole přes objem.

Nakonec je pružnost, která řídí diferenciální rovnice, zapojena, aby se získalo konečné prohlášení o problému.

{ displaystyle min _ { rho} ; int _ { Omega} { frac {1} {2}} mathbf { sigma}: mathbf { varepsilon} , mathrm {d} Omega}

podléhá:

${ displaystyle rho , v , [0, , 1]}$
${ displaystyle int _ { Omega} rho , mathrm {d} Omega ; leq ; V ^ {*}}$
${ displaystyle mathbf { nabla} cdot mathbf { sigma} , + , mathbf {F} ; = ; { mathbf {0}}}$
${ displaystyle mathbf { sigma} ; = ; { mathsf {C}}: mathbf { varepsilon}}$

Ale přímá implementace takového problému v rámci konečných prvků je stále nemožná kvůli problémům jako:

Závislost sítě - závislost sítě znamená, že návrh získaný na jedné síti není ten, který bude získán na jiné síti. Funkce sítě se stávají složitějšími, jak se síť vylepšuje.
Numerické nestability - výběr regionu ve formě šachovnice.

Ke zmírnění některých z těchto problémů se v současné době používají některé techniky, jako je filtrování založené na zpracování obrazu.

Multifyzikální problémy

Interakce tekutina-struktura

Interakce tekutina-struktura je silně spojený jev a týká se interakce mezi stacionární nebo pohybující se tekutinou a elastickou strukturou. Mnoho technických aplikací a přírodních jevů podléhá interakci tekutina-struktura a zohlednění těchto účinků je proto při návrhu mnoha technických aplikací zásadní. Optimalizace topologie pro problémy interakce struktury tekutin byla studována např. Reference^[7]^[8]^[9] a^[10]. Níže jsou uvedena návrhová řešení řešená pro různá Reynoldsova čísla. Konstrukční řešení závisí na toku kapaliny, což naznačuje, že vazba mezi kapalinou a strukturou je vyřešena v konstrukčních problémech.

Návrhové řešení a rychlostní pole pro Re = 1

Návrhové řešení a rychlostní pole pro Re = 5

Návrhové řešení a tlakové pole pro Re = 10

Návrhové řešení a tlakové pole pro Re = 40

Návrhová řešení pro různé Reynoldsovo číslo pro stěnu vloženou do kanálu s pohyblivou tekutinou.

Náčrt známého problému se stěnou. Cílem konstrukčního problému je minimalizovat poddajnost konstrukce.

Vývoj designu pro problém interakce kapalina-struktura z reference^[10]. Cílem konstrukčního problému je minimalizovat poddajnost konstrukce. Problém interakce tekutina-struktura je modelován pomocí rovnic Navier-Cauchy a Navier-Stokes.

Konverze termoelektrické energie

Náčrt konstrukčního problému. Cílem konstrukčního problému je prostorová distribuce dvou materiálů, materiálu A a materiálu B, k maximalizaci míry výkonu, jako je chladicí výkon nebo elektrický výkon

Vývoj designu pro off-diagonální termoelektrický generátor. Konstrukční řešení optimalizačního problému řešeného pro elektrický výkon. Výkon zařízení byl optimalizován distribucí Skutterudit (žlutá) a telurid bismutu (modrá) s metodikou optimalizace topologie založené na hustotě. Cílem problému s optimalizací je maximalizovat elektrický výkon termoelektrického generátoru.

Vývoj designu pro termoelektrický chladič. Cílem konstrukčního problému je maximalizovat chladicí výkon termoelektrického chladiče.

Termoelektřina je vícefyzický problém, který se týká interakce a vazby mezi elektrickou a tepelnou energií v polovodivých materiálech. Konverzi termoelektrické energie lze popsat dvěma samostatně identifikovanými efekty: Seebeckovým efektem a Peltierovým efektem. Seebeckův efekt se týká přeměny tepelné energie na elektrickou energii a Peltierův efekt se týká přeměny elektrické energie na tepelnou energii^[11]. Prostorovou distribucí dvou termoelektrických materiálů ve dvourozměrném návrhovém prostoru s metodikou optimalizace topologie,^[12] je možné překročit výkonnost konstitutivních termoelektrických materiálů pro termoelektrické chladiče a termoelektrické generátory^[13].

Formulář 3F3D sleduje sílu 3D tisku

Současné rozšíření technologie 3D tiskáren umožnilo návrhářům a technikům při navrhování nových produktů používat techniky optimalizace topologie. Optimalizace topologie v kombinaci s 3D tiskem může mít za následek odlehčení, zlepšení strukturálního výkonu a zkrácení cyklu návrhu na výrobu. Protože návrhy, i když jsou efektivní, nemusí být realizovatelné tradičnějšími výrobními technikami.^{[Citace je zapotřebí ]}

Reference

^ Sigmund, Ole; Maute, Kurt (2013). "Přístupy k optimalizaci topologie". Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 48 (6): 1031–1055. doi:10.1007 / s00158-013-0978-6. S2CID 124426387.
^ Beckers, M. (1999). „Optimalizace topologie pomocí duální metody s diskrétními proměnnými“ (PDF). Strukturální optimalizace. 17: 14–24. doi:10.1007 / BF01197709. S2CID 122845784.
^ Bendsøe, M. P. (1989). "Optimální tvarový design jako problém s distribucí materiálu". Strukturální optimalizace. 1 (4): 193–202. doi:10.1007 / BF01650949. S2CID 18253872.
^ [1], monografie předmětu.
^ Bendsøe, M. P .; Sigmund, O. (1999). "Schémata interpolace materiálu v optimalizaci topologie" (PDF). Archiv aplikované mechaniky. 69 (9–10): 635–654. Bibcode:1999AAM .... 69..635B. doi:10,1007 / s004190050248. S2CID 11368603.
^ van Dijk, NP. Langelaar, M. van Keulen, F. Kritická studie parametrizace návrhu v optimalizaci topologie; Vliv parametrizace návrhu na lokální minima.. 2. mezinárodní konference o optimalizaci inženýrství, 2010
^ Yoon, Gil Ho (2010). "Optimalizace topologie pro stacionární problémy interakce tekutina-struktura pomocí nové monolitické formulace". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 82 (5): 591–616. Bibcode:2010IJNME..82..591Y. doi:10,1002 / nme.2777.
^ Picelli, R .; Vicente, W.M .; Pavanello, R. (2017). „Evoluční optimalizace topologie pro minimalizaci shody struktur s ohledem na zatížení FSI závislá na designu“. Konečné prvky v analýze a návrhu. 135: 44–55. doi:10.1016 / j.finel.2017.07.005.
^ Jenkins, Nicholas; Maute, Kurt (2016). "Ponořený okrajový přístup pro optimalizaci tvaru a topologie stacionárních problémů interakce tekutina-struktura". Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 54 (5): 1191–1208. doi:10.1007 / s00158-016-1467-5. S2CID 124632210.
^ ^A ^b Lundgaard, Christian; Alexandersen, Joe; Zhou, Mingdong; Andreasen, Casper Schousboe; Sigmund, Ole (2018). „Revize optimalizace topologie založené na hustotě pro problémy interakce tekutina-struktura“ (PDF). Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 58 (3): 969–995. doi:10.1007 / s00158-018-1940-4. S2CID 125798826.
^ Rowe, David Michael. Příručka termoelektriky: makro až nano. CRC press, 2005.
^ Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole (2018). „Metodika optimalizace topologie založená na hustotě pro problémy s přeměnou termoelektrické energie“ (PDF). Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 57 (4): 1427–1442. doi:10.1007 / s00158-018-1919-1. S2CID 126031362.
^ Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole; Bjørk, Rasmus (2018). "Optimalizace topologie segmentovaných termoelektrických generátorů". Journal of Electronic Materials. 47 (12): 6959–6971. Bibcode:2018JEMat..47.6959L. doi:10.1007 / s11664-018-6606-x. S2CID 105113187.

Další čtení

Poslední vývoj v komerční implementaci optimalizace topologie; Uwe Schramm, Ming Zhou; Sympozium IUTAM o optimalizaci topologických návrhů konstrukcí, strojů a materiálů: stav a perspektivy, 239–248; 2006 Springer.
Průmyslová implementace a aplikace optimalizace topologie a budoucí potřeby; Claus B.W. Pedersen; Peter Allinger; Sympozium IUTAM o optimalizaci topologických návrhů konstrukcí, strojů a materiálů, 229-238; 2006 Springer.
Optimalizace topologie 2D kontinua pro minimální shodu pomocí paralelního výpočtu Arash Mahdavi; Balaji Raghavan; Mary Freckerová; Int Journal of Structural and Multidisciplinary Optimization, Volume 32, 121-132, 2006 Springer
Moderní koncepty strukturální optimalizace aplikované na optimalizaci topologie Juan Pablo Leiva; Brian C. Watson a Iku Kosaka; 40. konference AIAA / ASME / ASCE / AHS / ASC o strukturách, strukturální dynamice a materiálu. St. Louis, MO, str. 1589–1596, 1999

externí odkazy

Animace optimalizace topologie

[1] Sigmund, Ole; Maute, Kurt (2013). "Přístupy k optimalizaci topologie". Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 48 (6): 1031–1055. doi:10.1007 / s00158-013-0978-6. S2CID 124426387.

[2] Beckers, M. (1999). „Optimalizace topologie pomocí duální metody s diskrétními proměnnými“ (PDF). Strukturální optimalizace. 17: 14–24. doi:10.1007 / BF01197709. S2CID 122845784.

[3] Bendsøe, M. P. (1989). "Optimální tvarový design jako problém s distribucí materiálu". Strukturální optimalizace. 1 (4): 193–202. doi:10.1007 / BF01650949. S2CID 18253872.

[book-4] [1], monografie předmětu.

[5] Bendsøe, M. P .; Sigmund, O. (1999). "Schémata interpolace materiálu v optimalizaci topologie" (PDF). Archiv aplikované mechaniky. 69 (9–10): 635–654. Bibcode:1999AAM .... 69..635B. doi:10,1007 / s004190050248. S2CID 11368603.

[6] van Dijk, NP. Langelaar, M. van Keulen, F. Kritická studie parametrizace návrhu v optimalizaci topologie; Vliv parametrizace návrhu na lokální minima.. 2. mezinárodní konference o optimalizaci inženýrství, 2010

[7] Yoon, Gil Ho (2010). "Optimalizace topologie pro stacionární problémy interakce tekutina-struktura pomocí nové monolitické formulace". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 82 (5): 591–616. Bibcode:2010IJNME..82..591Y. doi:10,1002 / nme.2777.

[8] Picelli, R .; Vicente, W.M .; Pavanello, R. (2017). „Evoluční optimalizace topologie pro minimalizaci shody struktur s ohledem na zatížení FSI závislá na designu“. Konečné prvky v analýze a návrhu. 135: 44–55. doi:10.1016 / j.finel.2017.07.005.

[9] Jenkins, Nicholas; Maute, Kurt (2016). "Ponořený okrajový přístup pro optimalizaci tvaru a topologie stacionárních problémů interakce tekutina-struktura". Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 54 (5): 1191–1208. doi:10.1007 / s00158-016-1467-5. S2CID 124632210.

[Lundgaard_FSI-10] A ^b Lundgaard, Christian; Alexandersen, Joe; Zhou, Mingdong; Andreasen, Casper Schousboe; Sigmund, Ole (2018). „Revize optimalizace topologie založené na hustotě pro problémy interakce tekutina-struktura“ (PDF). Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 58 (3): 969–995. doi:10.1007 / s00158-018-1940-4. S2CID 125798826.

[11] Rowe, David Michael. Příručka termoelektriky: makro až nano. CRC press, 2005.

[12] Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole (2018). „Metodika optimalizace topologie založená na hustotě pro problémy s přeměnou termoelektrické energie“ (PDF). Strukturální a multidisciplinární optimalizace. 57 (4): 1427–1442. doi:10.1007 / s00158-018-1919-1. S2CID 126031362.

[13] Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole; Bjørk, Rasmus (2018). "Optimalizace topologie segmentovaných termoelektrických generátorů". Journal of Electronic Materials. 47 (12): 6959–6971. Bibcode:2018JEMat..47.6959L. doi:10.1007 / s11664-018-6606-x. S2CID 105113187.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]