Topologická derivace - Topological derivative

The topologická derivace je koncepčně a derivát tvaru funkčního s ohledem na nekonečně malé změny v jeho topologii, jako je přidání nekonečně malé díry nebo trhliny. Při použití ve vyšších rozměrech než jeden termín topologický gradient se také používá k pojmenování termínu prvního řádu topologické asymptotické expanze, zabývající se pouze nekonečně malými poruchami singulární domény. Má aplikace v optimalizace tvaru, optimalizace topologie, zpracování obrazu a mechanické modelování.

Definice

Nechat ${displaystyle Omega}$ být otevřenou ohraničenou doménou ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, s ${displaystyle dgeq 2}$, který je vystaven nehladkému rušení uzavřenému v malé oblasti ${displaystyle omega _ {varepsilon} ({ilde {x}}) = {ilde {x}} + varepsilon omega}$ velikosti ${displaystyle varepsilon}$ s ${displaystyle {ilde {x}}}$ libovolný bod ${displaystyle Omega}$ a ${displaystyle omega}$ pevná doména ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. Nechat ${displaystyle Psi}$ být charakteristickou funkcí spojenou s neporušenou doménou a ${displaystyle Psi _ {varepsilon}}$ být charakteristickou funkcí spojenou s perforovanou doménou ${displaystyle Omega _ {varepsilon} = Omega ackslash {overline {omega _ {varepsilon}}}}$. Daný tvar funkční ${displaystyle Phi (Psi _ {varepsilon} ({ilde {x}}))}$ spojené s topologicky narušenou doménou, připouští následující topologická asymptotická expanze:

${displaystyle Phi (Psi _ {varepsilon} ({ilde {x}})) = Phi (Psi) + f (varepsilon) g ({ilde {x}}) + o (f (varepsilon))}$

kde ${displaystyle Phi (Psi)}$ je funkční tvar spojený s referenční doménou, ${displaystyle f (varepsilon)}$ je pozitivní funkce korekce prvního řádu ${displaystyle Phi (Psi)}$ a ${displaystyle o (f (varepsilon))}$ je zbytek. Funkce ${displaystyle g ({ilde {x}})}$ se nazývá topologická derivace ${displaystyle Phi}$ na ${displaystyle {ilde {x}}}$.

Aplikace

Strukturální mechanika

Topologická derivace může být použita na problémy s optimalizací tvaru ve strukturální mechanice.^[1] Topologickou derivaci lze považovat za singulární limit tvarové derivace. Jde o zobecnění tohoto klasického nástroje v optimalizaci tvarů.^[2] Optimalizace tvaru se týká hledání optimálního tvaru. To znamená najít ${displaystyle Omega}$ minimalizovat některé skalární hodnoty Objektivní funkce, ${displaystyle J (Omega)}$. Techniku ​​topologické derivace lze spojit s metoda nastavení úrovně.^[3]

V roce 2005 proběhla topologická asymptotická expanze pro Laplaceova rovnice s ohledem na vložení krátké trhliny uvnitř rovinné domény bylo nalezeno. Umožňuje detekovat a lokalizovat trhliny pro jednoduchý modelový problém: rovnici tepla v ustáleném stavu s uloženým tepelným tokem a teplotu měřenou na hranici.^[4] Topologická derivace byla plně vyvinuta pro širokou škálu diferenciálních operátorů druhého řádu a v roce 2011 byla použita Problém s ohýbáním desky Kirchhoff s operátorem čtvrtého řádu.^[5]

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosinec 2011)

Zpracování obrazu

V oblasti zpracování obrazu byla v roce 2006 použita topologická derivace Detekce hrany a restaurování obrazu. Je studován dopad izolační trhliny na doménu. Topologická citlivost poskytuje informace o okrajích obrazu. Prezentovaný algoritmus je ne iterativní a díky použití spektrálních metod má krátký výpočetní čas.^[6] Pouze ${displaystyle O (Nlog (N))}$ operace jsou potřebné k detekci hran, kde ${displaystyle N}$ je počet pixelů.^[7] Během následujících let byly zvažovány další problémy: klasifikace, segmentace, malování a super rozlišení.^{[7][8][9][10][11]} Tento přístup lze použít na obrázky v šedé nebo barevné barvě.^[12] Do roku 2010 se pro rekonstrukce obrazu používala izotropní difúze. Topologický gradient je také schopen poskytnout orientaci hrany a tyto informace lze použít k provedení anizotropní difúze.^[13]

V roce 2012 je představen obecný rámec pro rekonstrukci obrazu ${displaystyle uin L ^ {2} (Omega)}$ vzhledem k několika hlučným pozorováním ${displaystyle Lu + n}$ v Hilbertově prostoru ${displaystyle E}$ kde ${displaystyle Omega}$ je doména, kde je obrázek ${displaystyle u}$ je definováno.^[11] Pozorovací prostor ${displaystyle E}$ závisí na konkrétní aplikaci i na operátoru lineárního pozorování ${displaystyle L: L ^ {2} (Omega) ightarrow E}$. Norma v prostoru ${displaystyle E}$ je ${displaystyle |. | _ {E}}$. Myšlenkou obnovit původní obrázek je minimalizovat následující funkční pro ${displaystyle uin H ^ {1} (Omega)}$:

${displaystyle | C ^ {1/2} abla u | _ {L ^ {2} (Omega)} ^ {2} + | Lu-v | _ {E} ^ {2}}$

kde ${displaystyle C}$ je pozitivní určitý tenzor. První člen rovnice zajišťuje, že obnovený obraz ${displaystyle u}$ je pravidelné a druhý termín měří nesoulad s údaji. V tomto obecném rámci lze provádět různé typy rekonstrukcí obrazu, například^[11]

• potlačení obrazu s ${displaystyle E = L ^ {2} (Omega)}$ a ${displaystyle Lu = u}$,
• odšumování obrazu a odhlazení pomocí ${displaystyle E = L ^ {2} (Omega)}$ a ${displaystyle Lu = phi ast u}$ s ${displaystyle phi}$ A rozostření pohybu nebo Gaussovské rozostření,
• malování obrazu s ${displaystyle E = L ^ {2} (Omega ackslash omega)}$ a ${displaystyle Lu = u | _ {Omega ackslash omega}}$podmnožina ${displaystyle omega podmnožina Omega}$ je oblast, kde je třeba obrázek obnovit.

V tomto rámci jde o asymptotickou expanzi nákladové funkce ${displaystyle J_ {Omega} (u_ {Omega}) = {frac {1} {2}} int _ {Omega} u_ {Omega} ^ {2}}$ v případě crack poskytuje stejnou topologickou derivaci ${displaystyle g (x, n) = - pi c (abla u_ {0} .n) (abla p_ {0} .n) -pi (abla u_ {0} .n) ^ {2}}$ kde ${displaystyle n}$ je normální k prasknutí a ${displaystyle c}$ konstantní difúzní koeficient. Funkce ${displaystyle u_ {0}}$ a ${displaystyle p_ {0}}$ jsou řešení následujících přímých a přidružených problémů.^[11]

${displaystyle -abla (cabla u_ {0}) + L ^ {*} Lu_ {0} = L ^ {*} v}$ v ${displaystyle Omega}$ a ${displaystyle partial _ {n} u_ {0} = 0}$ na ${displaystyle partial Omega}$

${displaystyle -abla (cabla p_ {0}) + L ^ {*} Lp_ {0} = Delta u_ {0}}$ v ${displaystyle Omega}$ a ${displaystyle partial _ {n} p_ {0} = 0}$ na ${displaystyle partial Omega}$

Díky topologickému gradientu je možné detekovat hrany a jejich orientaci a definovat vhodné ${displaystyle C}$ pro proces rekonstrukce obrazu.^[11]

Při zpracování obrazu byly topologické deriváty studovány také v případě multiplikativního šumu gama zákona nebo v přítomnosti Poissonian statistiky.^[14]

Inverzní problémy

V roce 2009 byla použita metoda topologického gradientu tomografická rekonstrukce.^[15] V této aplikaci byla také zkoumána vazba mezi topologickým derivátem a sadou úrovní.^[16]

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosinec 2011)

Reference

Knihy

A. A. Novotný a J. Sokolowski, Topologické deriváty v tvarové optimalizaci, Springer, 2013.

externí odkazy

• Allaire a spol. Strukturální optimalizace pomocí topologické a tvarové citlivosti pomocí metody nastavení úrovní