Tloušťka a tvar tepelné mezní vrstvy - Thermal boundary layer thickness and shape

Schematický nákres zobrazující tok tekutiny přes vyhřátou plochou desku.

Tato stránka popisuje některé parametry používané k charakterizaci vlastností tepelná mezní vrstva tvořený ohřátou (nebo chlazenou) tekutinou pohybující se podél zahřáté (nebo chlazené) stěny. V mnoha ohledech je popis tepelné mezní vrstvy paralelní s mezní vrstva rychlosti (hybnosti) popis nejprve koncipován pomocí Ludwig Prandtl.^[1] Zvažte tekutinu rovnoměrné teploty ${ displaystyle T_ {o}}$ a rychlost ${ displaystyle u_ {o}}$ dopadající na stacionární desku rovnoměrně zahřátou na teplotu ${ displaystyle T_ {s}}$ . Předpokládejme, že tok a deska jsou polo nekonečné v kladném / záporném směru kolmém k ${ displaystyle x-y}$ letadlo. Když tekutina proudí podél stěny, kapalina na povrchu stěny vyhovuje a okrajová podmínka bez prokluzu a má nulovou rychlost, ale když se vzdalujete od zdi, rychlost toku se asymptoticky blíží rychlosti volného proudu ${ displaystyle u_ {0}}$ . Teplota na pevné stěně je ${ displaystyle T_ {s}}$ a postupně se mění na ${ displaystyle T_ {o}}$ když se člověk pohybuje směrem k volnému proudu tekutiny. Je nemožné definovat ostrý bod, ve kterém se tekutina tepelné mezní vrstvy nebo tekutina mezní vrstvy rychlosti stane volným proudem, přesto tyto vrstvy mají dobře definovanou charakteristickou tloušťku danou ${ displaystyle delta _ {T}}$ a ${ displaystyle delta _ {v}}$ . Níže uvedené parametry poskytují užitečnou definici této charakteristické měřitelné tloušťky pro tepelnou mezní vrstvu. V tomto popisu mezní vrstvy jsou také zahrnuty některé parametry užitečné při popisu tvaru tepelné mezní vrstvy.

99% tloušťka hraniční vrstvy

The tloušťka tepelné mezní vrstvy, ${ displaystyle delta _ {T}}$ , je vzdálenost přes mezní vrstvu od stěny k bodu, kde teplota proudění v podstatě dosáhla teploty „volného proudu“, ${ displaystyle T_ {0}}$ . Tato vzdálenost je definována kolmo ke zdi v ${ displaystyle y}$ -směr. Tloušťka tepelné mezní vrstvy je obvykle definována jako bod v mezní vrstvě, ${ displaystyle y_ {99}}$ , kde je teplota ${ displaystyle T (x, y)}$ dosáhne 99% hodnoty volného toku ${ displaystyle T_ {0}}$ :

{ displaystyle delta _ {T} = y_ {99}}

takhle

{ displaystyle T (x, y_ {99})}

= 0.99

{ displaystyle T_ {0}}

na pozici ${ displaystyle x}$ podél zdi. Ve skutečné tekutině lze toto množství odhadnout měřením teplotního profilu v dané poloze ${ displaystyle x}$ podél zdi. Teplotní profil je teplota jako funkce ${ displaystyle y}$ pevně ${ displaystyle x}$ pozice.

Pro laminární proudění na ploché desce s nulovým dopadem je tloušťka tepelné mezní vrstvy dána vztahem:^[2]

{ displaystyle delta _ {T} = delta _ {v} mathrm {Pr} ^ {- 1/3}}

{ displaystyle delta _ {T} = 5,0 { sqrt {{ nu x} nad u_ {0}}} mathrm {Pr} ^ {- 1/3}}

kde

{ displaystyle mathrm {Pr}}

je Prandtl číslo

{ displaystyle delta _ {v}}

je tloušťka rychlost mezní vrstvy vrstvy ^[3]

{ displaystyle u_ {0}}

je rychlost přímého přenosu

{ displaystyle x}

je vzdálenost po proudu od začátku mezní vrstvy

{ displaystyle nu}

je kinematická viskozita

Pro turbulentní proudění na ploché desce není tloušťka vytvořené tepelné mezní vrstvy určena tepelnou difúzí, ale místo toho jsou to náhodné výkyvy ve vnější oblasti mezní vrstvy tekutiny, které jsou hnací silou určující tloušťku tepelné mezní vrstvy . Tloušťka tepelné mezní vrstvy pro turbulentní proudění tedy nezávisí na Prandtl číslo ale místo toho na Reynoldsovo číslo. Tloušťka turbulentní tepelné mezní vrstvy je tedy dána přibližně turbulentní rychlostí tloušťka mezní vrstvy výraz^[4] dána:

{ displaystyle delta _ {T} přibližně delta přibližně 0,37x / { mathrm {Re} _ {x}} ^ {1/5}}

kde

{ displaystyle { mathrm {Re} _ {x}} = u_ {0} x / nu}

je Reynoldsovo číslo

Tento vzorec turbulentní mezní vrstvy předpokládá 1) tok je turbulentní hned od začátku mezní vrstvy a 2) turbulentní mezní vrstva se chová geometricky podobným způsobem (tj. Profily rychlosti jsou geometricky podobné podél toku ve směru x) , lišící se pouze napínacími faktory v ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle u (x, y)}$ ^[5]). Ani jeden z těchto předpokladů neplatí pro obecný případ turbulentní mezní vrstvy, takže při použití tohoto vzorce je třeba postupovat opatrně.

Tloušťka tepelného posunutí

The tloušťka tepelného posunu, ${ displaystyle beta ^ {*}}$ lze uvažovat z hlediska rozdílu mezi skutečnou tekutinou a hypotetickou tekutinou s vypnutou tepelnou difúzí, ale s rychlostí ${ displaystyle u_ {0}}$ a teplota ${ displaystyle T_ {0}}$ . Bez tepelné difúze je pokles teploty náhlý. Tloušťka tepelného posunu je vzdálenost, o kterou by se hypotetický povrch tekutiny musel pohybovat v ${ displaystyle y}$ -směr, který dává stejnou integrovanou teplotu, jaká se vyskytuje mezi stěnou a referenční rovinou v ${ displaystyle delta _ {T}}$ ve skutečné tekutině. Jedná se o přímý analog k tloušťce posunu rychlosti, která je často popisována z hlediska ekvivalentního posunu hypotetické inviscidní tekutiny (viz Schlichting^[6] pro tloušťku posunutí rychlosti).

Definice tloušťky tepelného posunu pro nestlačitelný průtok je založena na integrálu snížené teploty:

{ displaystyle { beta ^ {*}} = int _ {0} ^ { infty} { theta (x, y) , mathrm {d} y}}

kde je bezrozměrná teplota ${ displaystyle theta (x, y) = (T (x, y) -T_ {0}) / (T_ {s} -T_ {0})}$ . V větrný tunel, profily rychlosti a teploty se získají měřením rychlosti a teploty na mnoha diskrétních ${ displaystyle y}$ -hodnoty na pevnou hodnotu ${ displaystyle x}$ -pozice. Tloušťku tepelného posunu lze poté odhadnout pomocí numericky integrovat změřený teplotní profil.

Momentová metoda

Relativně nová metoda^[7]^[8] pro popis tloušťky a tvaru tepelné mezní vrstvy se používá momentová metoda běžně se používá k popisu náhodných proměnných rozdělení pravděpodobnosti. Metoda momentu byla vyvinuta z pozorování, že graf druhé derivace tepelného profilu pro laminární proudění přes desku vypadá velmi podobně jako Gaussovo rozdělení křivka.^[9] Je snadné vložit správně upravený tepelný profil do vhodného integrálního jádra.

Střední momenty tepelného profilu jsou definovány jako:

{ displaystyle { xi _ {n}} = {1 over beta ^ {*}} int _ {0} ^ { infty} {(y-m_ {T}) ^ {n} theta ( x, y) mathrm {d} y}}

kde průměrná poloha, ${ displaystyle m_ {T}}$ , darováno:

{ displaystyle m_ {T} = {1 over beta ^ {*}} int _ {0} ^ { infty} {y theta (x, y) mathrm {d} y}}

Existuje několik výhod, které zahrnují také popisy momentů derivátů profilu mezní vrstvy s ohledem na výšku nad zdí. Zvažte první derivační teplotní profil centrální momenty dané:

{ displaystyle { epsilon _ {n}} = int _ {0} ^ { infty} {(y - { beta ^ {*}}) ^ {n} {d theta (x, y) přes dy} mathrm {d} y}}

kde střední poloha je tloušťka tepelného posunu ${ displaystyle beta ^ {*}}$ .

Nakonec jsou druhé momenty středního momentu teplotního profilu odvozeny z:

{ displaystyle { phi _ {n}} = mu _ {T} int _ {0} ^ { infty} {(y - { mu _ {T}}) ^ {n} {d ^ { 2} theta (x, y) přes dy ^ {2}} mathrm {d} y}}

kde průměrná poloha, ${ displaystyle mu _ {T}}$ , darováno:

{ displaystyle {1 over mu _ {T}} = - left ({ frac {d theta (x, y)} {dy}} right) _ {y = 0}}

S definovanými momenty a polohou tepelného průměru lze tloušťku a tvar mezní vrstvy popsat z hlediska šířky tepelné mezní vrstvy (rozptyl ), termální špejle a tepelný přebytek (nadměrná špičatost ). Pro řešení Pohlhausen pro laminární proudění na vyhřívané ploché desce,^[10] bylo zjištěno, že tloušťka tepelné mezní vrstvy je definována jako ${ displaystyle delta _ {T} = m_ {T} +4 sigma _ {T}}$ kde ${ displaystyle sigma _ {T} = xi _ {2} ^ {1/2}}$ , velmi dobře sleduje tloušťku 99%.^[11]

U laminárního proudění dávají všechny tři různé momentové případy podobné hodnoty tloušťky tepelné mezní vrstvy. U turbulentního proudění lze tepelnou mezní vrstvu rozdělit na oblast poblíž stěny, kde je důležitá tepelná difúze, a vnější oblast, kde účinky tepelné difúze většinou chybí. Vezmeme si narážku z rovnice energetické rovnováhy mezní vrstvy, momenty druhé derivační mezní vrstvy, ${ displaystyle { phi _ {n}}}$ sledovat tloušťku a tvar té části tepelné mezní vrstvy, kde tepelná difuzivita ${ displaystyle { alpha}}$ je významné. Momentová metoda tedy umožňuje sledovat a kvantifikovat oblast, kde je důležitá tepelná difuzivita ${ displaystyle { phi _ {n}}}$ momenty, zatímco celková tepelná mezní vrstva je sledována pomocí ${ displaystyle { epsilon _ {n}}}$ a ${ displaystyle { xi _ {n}}}$ momenty.

Výpočet derivačních momentů, aniž by bylo nutné brát derivace, se zjednodušuje pomocí integrace po částech ke snížení momentů na jednoduché integrály na základě jádra tloušťky tepelného posunu:

{ displaystyle {k_ {n}} = int _ {0} ^ { infty} {y ^ {n} theta (x, y) , mathrm {d} y}}

To znamená, že například druhou derivační šikmost lze vypočítat jako:

{ displaystyle gamma _ {T} = phi _ {3} / phi _ {2} ^ {3/2} = (2 mu _ {T} ^ {3} -6 beta ^ {*} mu _ {T} ^ {2} +6 mu _ {T} k_ {1}) / (- mu _ {T} ^ {2} +2 mu _ {T} beta ^ {*} ) ^ {3/2}}

Další čtení

Hermann Schlichting, Teorie mezních vrstev, 7. vydání, McGraw Hill, 1979.
Frank M. White, Mechanika tekutin, McGraw-Hill, 5. vydání, 2003.
Amir Faghri, Yuwen Zhang a John Howell, Pokročilý přenos tepla a hmoty, Globální digitální tisk, ISBN 978-0-9842760-0-4, 2010.

Poznámky

^ L. Prandtl, „Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung,“ Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg 1904, A. Krazer, ed., Teubner, Leipzig, (1905) 484–491.
^ Schlichting, str. 307.
^ Schlichting, s. 140.
^ Schlichting, str. 638.
^ Schlichting, str.152.
^ Schlichting, str. 140.
^ Weyburne, 2006.
^ Weyburne, 2018.
^ Weyburne, 2006, s. 1680.
^ Schlichting, str. 292.
^ Weyburne, 2018, s. 5.

Reference

Schlichting, Hermann (1979). Teorie mezních vrstev, 7. vydání, McGraw Hill, New York, USA
Weyburne, David (2006). „Matematický popis mezní vrstvy tekutin,“ Applied Mathematics and Computation, sv. 175, s. 1675–1684
Weyburne, David (2018). „Nové parametry tloušťky a tvaru pro popis tepelné mezní vrstvy,“ arXiv: 1704.01120 [physics.flu-dyn]

[1] L. Prandtl, „Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung,“ Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg 1904, A. Krazer, ed., Teubner, Leipzig, (1905) 484–491.

[2] Schlichting, str. 307.

[3] Schlichting, s. 140.

[4] Schlichting, str. 638.

[5] Schlichting, str.152.

[6] Schlichting, str. 140.

[7] Weyburne, 2006.

[8] Weyburne, 2018.

[9] Weyburne, 2006, s. 1680.

[10] Schlichting, str. 292.

[11] Weyburne, 2018, s. 5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]