Transformace modelu produktu Tensor - Tensor product model transformation

V matematice je tenzorový produkt (TP) transformace modelu navrhli Baranyi a Yam^{[1][2][3][4][5]} jako klíčový koncept pro rozklad funkcí singulární hodnoty vyššího řádu. Transformuje funkci (kterou lze zadat pomocí uzavřené vzorce nebo neuronové sítě, fuzzy logika, atd.) do formy funkce TP, pokud je taková transformace možná. Pokud není možná přesná transformace, pak metoda určuje funkci TP, která je aproximací dané funkce. Transformace modelu TP proto může poskytnout kompromis mezi přesností aproximace a složitostí.^[6]

Zdarma MATLAB implementaci transformace modelu TP lze stáhnout na [1] nebo je stará verze sady nástrojů dostupná na MATLAB Centrální [2]. Klíčovým základem transformace je rozklad singulární hodnoty vyššího řádu.^[7]

Kromě transformace funkcí je transformace modelu TP také novým konceptem v řízení založeném na qLPV, který hraje ústřední roli při poskytování hodnotného prostředku přemostění mezi teoriemi identifikace a polytopických systémů. Transformace modelu TP je jedinečně účinná při manipulaci s konvexním trupem polytopických forem a ve výsledku odhalila a prokázala skutečnost, že manipulace s konvexním trupem je nezbytným a zásadním krokem k dosažení optimálních řešení a snížení konzervativnosti^[8][9][2] v moderní teorii řízení založené na LMI. Ačkoli se tedy jedná o transformaci v matematickém smyslu, zavedla koncepčně nový směr v teorii řízení a položila půdu pro další nové přístupy k optimalitě. Další podrobnosti o řídicích teoretických aspektech transformace modelu TP naleznete zde: Transformace modelu TP v teorii řízení.

Transformace modelu TP motivovala definici „kanonické formy funkcí TP HOSVD“,^[10] na kterém lze nalézt další informace tady. Bylo prokázáno, že transformace modelu TP je schopna to numericky rekonstruovat HOSVD kanonické formě.^[11] Transformaci modelu TP lze tedy považovat za numerickou metodu pro výpočet HOSVD funkcí, který poskytuje přesné výsledky, pokud má daná funkce strukturu funkcí TP a přibližné výsledky jinak.

Transformace modelu TP byla nedávno rozšířena, aby bylo možné odvodit různé typy konvexních funkcí TP a manipulovat s nimi.^[3] Tato funkce vedla k novým optimalizačním přístupům v analýze a návrhu systému qLPV, jak je popsáno zde: Transformace modelu TP v teorii řízení.

Definice

Funkce TP konečných prvků

Daná funkce ${ displaystyle f ({ mathbf {x}})}$, kde ${ displaystyle mathbf {x} v R ^ {N}}$, je funkce TP, pokud má strukturu:

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = součet _ {i_ {1} = 1} ^ {I_ {1}} součet _ {i_ {2} = 1} ^ {I_ {2}} ldots sum _ {i_ {N} = 1} ^ {I_ {N}} prod _ {n = 1} ^ {N} w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}) s_ {i_ {1 }, i_ {2}, ldots, i_ {N}},}$

tj. pomocí kompaktní notace tenzoru (pomocí tenzorový produkt úkon ${ displaystyle otimes}$ z ^[7] ):

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} mathop { otimes} _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n}) ,}$

kde tenzor jádra ${ displaystyle { mathcal {S}} v { mathcal {R}} ^ {I_ {1} krát I_ {2} krát ldots krát I_ {N}}}$ je postaven z ${ displaystyle s_ {i_ {1} i_ {2} ldots i_ {N}}}$a řádek vektor ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (x_ {n}), (n = 1 ldots N)}$ obsahuje kontinuální jednorozměrné funkce vážení ${ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}), (i_ {n} = 1 ldots I_ {n})}$. Funkce ${ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (x_ {n})}$ je ${ displaystyle i_ {n}}$-tá váhová funkce definovaná na ${ displaystyle n}$-tá dimenze a ${ displaystyle x_ {n}}$ je ${ displaystyle n}$-prvek vektoru ${ displaystyle mathbf {x}}$. Konečný prvek to znamená ${ displaystyle I_ {n}}$ je omezen pro všechny ${ displaystyle n}$. U aplikací pro modelování a řízení qLPV se vyšší struktura funkcí TP označuje jako model TP.

Model TP s konečnými prvky (zkráceně model TP)

Toto je vyšší struktura funkce TP:

${ displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n }).}$

Tady ${ displaystyle { mathcal {Y}} = { mathcal {F}} ({ mathbf {x}})}$ je tenzor jako ${ displaystyle { mathcal {Y}} v { mathcal {R}} ^ {L_ {1} krát L_ {2} krát ldots L_ {O}}}$, tedy velikost tenzoru jádra je ${ displaystyle { mathcal {S}} v { mathcal {R}} ^ {I_ {1} krát I_ {2} krát ldots krát I_ {N} krát L_ {1} krát L_ {2} krát ... krát L_ {O}}}$. Provozovatel produktu ${ displaystyle boxtimes}$ má stejnou roli jako ${ displaystyle otimes}$, ale vyjadřuje skutečnost, že tenzorový produkt je aplikován na ${ displaystyle L_ {1} krát L_ {2} krát ... krát L_ {O}}$ velké tenzorové prvky tenzoru jádra ${ displaystyle { mathcal {S}}}$. Vektor ${ displaystyle mathbf {x}}$ je prvek uzavřené hyperkrychle ${ displaystyle Omega = [a_ {1}, b_ {1}] krát [a_ {2}, b_ {2}] krát ... krát [a_ {N}, b_ {N}] podmnožina R ^ {N}}$.

Konvexní konvexní funkce nebo model TP s konečnými prvky

Funkce nebo model TP jsou konvexní, pokud funkce wighting platí:

${ displaystyle forall n: sum _ {i_ {n} = 1} ^ {I_ {n}} w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}) = 1}$ a ${ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (x_ {n}) v [0,1].}$

Tohle znamená tamto ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$ je uvnitř konvexního trupu definovaného tenzorem jádra pro všechny ${ displaystyle mathbf {x} v Omega}$.

Transformace modelu TP

Předpokládejme daný model TP ${ displaystyle { mathcal {Y}} = { mathcal {F}} ( mathbf {x})}$, kde ${ displaystyle mathbf {x} v Omega podmnožina R ^ {N}}$, jehož struktura TP je možná neznámá (např. je dána neurálními sítěmi). Transformace modelu TP určuje jeho strukturu TP jako

${ displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x}) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ {n })}$,

konkrétně generuje tenzor jádra ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ a funkce vážení ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (x_ {n})}$ pro všechny ${ displaystyle n = 1 ldots N}$. Je to zdarma MATLAB implementace je ke stažení na [3] nebo na MATLAB Centrální [4].

Pokud je dané ${ displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x})}$ nemá strukturu TP (tj. není ve třídě modelů TP), pak transformace modelu TP určuje jeho aproximaci:^[6]

${ displaystyle { mathcal {F}} ( mathbf {x}) přibližně { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (x_ { n}),}$

kde kompromis nabízí transformace modelu TP mezi složitostí (počet komponent v tenzoru jádra nebo počtem váhových funkcí) a přesností aproximace. Model TP lze generovat podle různých omezení. Typické modely TP generované transformací modelu TP jsou:

• HOSVD kanonická forma funkcí TP nebo modelu TP (modely qLPV),
• Různé druhy polytopické formy typu TP nebo konvexní formy modelu TP (tato výhoda se využívá při analýze a návrhu systému qLPV).

Vlastnosti transformace modelu TP

• Jedná se o neheuristickou a použitelnou numerickou metodu, která byla poprvé navržena v teorii řízení.^[1][4]
• Transformuje danou funkci do TP struktury konečných prvků. Pokud tato struktura neexistuje, pak transformace poskytuje aproximaci pod omezením počtu prvků.
• Může být provedeno jednotně (bez ohledu na to, zda je model dán ve formě analytických rovnic vyplývajících z fyzikálních úvah, nebo jako výsledek metod identifikace založených na soft computingu (jako jsou neuronové sítě nebo metody založené na fuzzy logice, nebo jako výsledek identifikace černé skříňky), bez analytické interakce, v rozumném čase. Transformace tedy nahradí analytické a v mnoha případech složité a není zřejmé převody na numerické, snadno použitelné a přímé operace.
• Generuje kanonickou formu funkcí TP založenou na HOSVD,^[10] což je jedinečné znázornění. Dokázal to Szeidl ^[11] že transformace modelu TP numericky rekonstruuje HOSVD funkcí. Tato forma extrahuje jedinečnou strukturu dané funkce TP ve stejném smyslu jako HOSVD dělá pro tenzory a matice takovým způsobem, že:

• počet váhových funkcí je minimalizován na rozměry (tedy velikost tenzoru jádra);
• váhové funkce jsou jednou proměnnou funkcí vektoru parametrů v ortonormovaném systému pro každý parametr (singulární funkce);
• subtenzory jádra tenzoru jsou také v ortogonálních polohách;
• tenzor jádra a funkce vážení jsou seřazeny podle singulárních hodnot vyššího řádu vektoru parametrů;
• má jedinečnou formu (s výjimkou některých zvláštních případů, jako jsou stejné singulární hodnoty);
• zavádí a definuje pořadí funkce TP podle rozměrů vektoru parametrů;

• Výše uvedený bod lze rozšířit na modely TP (modely qLPV k určení HOSVD kanonická forma modelu qLPV na objednávku hlavní součásti modelu qLPV). Protože tenzor jádra je ${ displaystyle N + O}$ rozměrové, ale funkce vážení jsou určeny pouze pro rozměry ${ displaystyle n = 1 ldots N}$, jmenovitě tenzor jádra je konstruován z ${ displaystyle O}$ rozměrné prvky, proto výsledná forma TP není jedinečná.
• Základní krok transformace modelu TP byl rozšířen o generování různých typů konvexních funkcí TP nebo modelů TP (polytopické modely qLPV typu TP), aby se místo vývoje nových soustředilo na systematické (numerické a automatické) úpravy konvexního trupu. LMI rovnice pro proveditelný návrh regulátoru (toto je široce přijímaný přístup). Stojí za zmínku, že jak transformace modelu TP, tak metody návrhu řízení založené na LMI jsou numericky proveditelné jeden po druhém, a to umožňuje řešení široké třídy problémů přímým a traktovatelným numerickým způsobem.
• Transformace modelu TP je schopna provést kompromis mezi složitostí a přesností funkcí TP ^[6] vyřazením singulárních hodnot vyššího řádu se stejným způsobem jako tenzor HOSVD používá ke snížení složitosti.

Reference

Baranyi, P. (2018). Rozšíření transformace modelu Multi-TP na funkce s různými počty proměnných. Složitost, 2018.

externí odkazy

• TP Tool - domovská stránka