Transformace modelu TP v teorii řízení - TP model transformation in control theory - Wikipedia

Baranyi a Yam navrhli Transformace modelu TP^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] jako nový koncept v řízení založeném na kvazi-LPV (qLPV), který hraje ústřední roli ve vysoce žádoucím přemostění mezi teoriemi identifikace a polytopických systémů. Je jedinečně efektivní při manipulaci s konvexní obal z polytopické formy, a proto odhalil a prokázal skutečnost, že konvexní manipulace s trupem je nezbytným a zásadním krokem k dosažení optimálních řešení a snížení konzervativnosti^[6]^[7]^[2] v moderní teorie řízení založená na nerovnosti lineární matice. Ačkoli se tedy jedná o transformaci v matematickém smyslu, zavedla koncepčně nový směr v teorii řízení a položila půdu pro další nové přístupy k optimalitě.

Podrobnosti najdete na: Transformace modelu TP.

Sada nástrojů TP MATLAB

Zdarma MATLAB implementaci transformace modelu TP lze stáhnout na [1] nebo stará verze sady nástrojů je k dispozici na MATLAB Centrální [2]. Buďte opatrní, v sadě nástrojů MATLAB je přiřazení rozměrů tenzoru jádra v protikladu k notaci použité v související literatuře. V ToolBoxu jsou první dvě dimenze tenzoru jádra přiřazeny vrcholným systémům. V literatuře modelu TP poslední dva. Níže je uveden jednoduchý příklad.

clearM1 = 20; % Hustoty sítě M2 = 20; omega1 = [- 1,1]; % Interval omega2 = [- 1,1]; doména = [omega1; omega2]; pro m1 = 1: M1 pro m2 = 1: M2 p1 = omega1 (1) + (omega1 (2) -omega1 (1)) / M1 * (ml-1); % vzorkovací mřížky p2 = omega2 (1) + (omega2 (2) -omega2 (1)) / M2 * (m2-1); SD (ml, m2,1,:) = [10]; % SD je diskretizovaná systémová matice SD (ml, m2,2,:) = [(- 1-0,67 * p1 * p1) (1,726 * p2 * p2)]; koncový konec [S, U, sv] = hosvd (SD, [1,1,0,0], le-12); % Nalezení struktury TPUA {1} = U {1}; % Toto je kanonický formulář založený na HOSVDUA {2} = U {2}; ns1 = input ('Výsledky fuzzy modelu SNNN TS'); UC = genhull (UA, 'snnn'); % snnn weightinf funkce UCP {1} = pinv (UC {1}); UCP {2} = pinv (UC {2}); SC = tprods (SD, UCP); % Toto slouží k nalezení tenzoru jádra H (:,:) = SC (1,1,:, :)% Tím se zobrazí vrcholy modelu TPH (:,:) = SC (1,2,:, :) H (:,:) = SC (2,1,:, :) H (:,:) = SC (2,2,:, :) obrázek (1) obsahuje všechny plothull (U {1}, omega1 )% Nakreslete čekající funkce p1title ('Weighting functions for p_ {1}'); xlabel ('p_ {1}') ylabel ('Weighting functions') grid onbox onfigure (2) hold all plothull (UC {2} , omega2)% Zobrazit čekající funkce p2title ('Váhové funkce pro p_ {2}'); xlabel ('p_ {2}') ylabel ('Váhové funkce') grid onbox onns2 = input ('Výsledky CNO TS fuzzy model '); UC = genhull (UA,' cno '); % Vytvořit funkce čekání typu CNO UCP {1} = pinv (UC {1}); UCP {2} = pinv (UC {2}); SC = tprods (SD, UCP); % Najít cortensorH (:,:) = SC (1,1,:, :)% Zobrazit vrcholy modelu TPH (:,:) = SC (1,2,:, :) H (:, :) = SC (2,1,:, :) H (:,:) = SC (2,2,:, :) obrázek (1) obsahuje všechny plothull (U {1}, omega1)% Zobrazit čekající funkce p1title ('Weighting functions for p_ {1}'); xlabel ('p_ {1}') ylabel ('Weighting functions') grid onbox onfigure (2) hold all plothull (UC {2}, omega2)% Show the waiting functions of p2title ('Weighting functions for p_ {2}'); xlabel ('p_ {2}') ylabel ('Weighting functions') Once you have the feedback vertexes derived to each vertexes of the TP model then you may want to Calc řadič na stejném polytopu (viz návrh PDC od Tanaky) W = queryw1 (UC, doména, p); % výpočtu váhových hodnot přes parametr vektor F = tprods (K, W); % výpočet zpětné vazby závislé na parametru F (p) F = shiftdim (F) U = -F * x% vypočítá kontrolní hodnotu.

Klíčové vlastnosti pro kontrolní analýzu a návrh

Transformace modelu TP transformuje daný model qLPV do (tenzorového typu produktu) polytopické formy, bez ohledu na to, zda je model uveden ve formě analytických rovnic vyplývajících z fyzikálních úvah, nebo jako výsledek metod identifikace založených na soft computingu (jako např. neuronové sítě nebo fuzzy logika založené na metodách nebo jako výsledek a Černá skříňka identifikace).
Transformace modelu TP je dále schopná manipulovat s konvexním trupem definovaným polytopickou formou, což je nezbytný krok v teoriích analýzy a návrhu polytopické qLPV založené na modelu.

Související definice

Stavový prostorový model lineární změny parametrů (LPV)

{ displaystyle { begin {pmatrix} { mathbf { dot {x}}} (t) { mathbf {y}} (t) end {pmatrix}} = { mathbf {S}} ( { mathbf {p}} (t)) { begin {pmatrix} { mathbf {x}} (t) { mathbf {u}} (t) end {pmatrix}},}

se vstupem ${ displaystyle { mathbf {u}} (t)}$ , výstup ${ displaystyle { mathbf {y}} (t)}$ a statevector ${ displaystyle { mathbf {x}} (t)}$ . Matice systému ${ displaystyle { mathbf {S}} ({ mathbf {p}} (t)) in mathbb {R} ^ {L_ {1} krát L_ {2}}}$ je objekt měnící parametry, kde ${ displaystyle { mathbf {p}} (t) v Omega}$ je doba různá ${ displaystyle N}$ -dimenzionální vektor parametrů, který je prvkem uzavřené hyperkrychle ${ displaystyle Omega = [a_ {1}, b_ {1}] krát [a_ {2}, b_ {2}] krát cdots krát [a_ {N}, b_ {N}] podmnožina mathbb {R} ^ {N}}$ . Ve skutečnosti lze vložit další kanály závislé na parametrech ${ displaystyle { mathbf {S}} ({ mathbf {p}} (t))}$ které představují různé požadavky na výkon kontroly.

kvazi lineární model stavového prostoru s proměnnými parametry (qLPV)

${ displaystyle { mathbf {p}} (t)}$ ve výše uvedeném modelu LPV může také obsahovat některé prvky stavového vektoru ${ displaystyle { mathbf {x}} (t)}$ , a proto tento model patří do třídy nelineárních systémů a je také označován jako model kvazi LPV (qLPV).

Státoprostorový model typu TP s polytopickým lineárním parametrem se měnícím (LPV)

{ displaystyle { begin {pmatrix} { mathbf { dot {x}}} (t) { mathbf {y}} (t) end {pmatrix}} = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (p_ {n} (t)) { begin {pmatrix} { mathbf {x}} (t) { mathbf {u}} (t) end {pmatrix}},}

se vstupem ${ displaystyle { mathbf {u}} (t)}$ , výstup ${ displaystyle { mathbf {y}} (t)}$ a statevector ${ displaystyle { mathbf {x}} (t)}$ . Matice systému ${ displaystyle { mathbf {S}} ({ mathbf {p}} (t)) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} (p_ { n} (t)) in mathbb {R} ^ {L_ {1} krát L_ {2}}}$ je objekt měnící parametry, kde ${ displaystyle { mathbf {p}} (t) v Omega}$ je doba různá ${ displaystyle N}$ -dimenzionální vektor parametrů, který je prvkem uzavřené hyperkrychle ${ displaystyle Omega = [a_ {1}, b_ {1}] krát [a_ {2}, b_ {2}] krát cdots krát [a_ {N}, b_ {N}] podmnožina mathbb {R} ^ {N}}$ a funkce vážení ${ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (p_ {n} (t)) v [0,1]}$ jsou prvky vektoru ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (p_ {n} (t))}$ . Tenzor jádra obsahuje prvky ${ displaystyle mathbf {S} _ {i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {N}}}$ což jsou vrcholy systému. Ve skutečnosti lze vložit další kanály závislé na parametrech ${ displaystyle { mathbf {S}} ({ mathbf {p}} (t))}$ které představují různé požadavky na výkon ovládání. Zde

{ displaystyle forall n: sum _ {i_ {n} = 1} ^ {I_ {n}} w_ {n, i_ {n}} (p_ {n} (t)) = 1.}

a

{ displaystyle w_ {n, i_ {n}} (p_ {n} (t)) v [0,1].}

Tohle znamená tamto ${ displaystyle mathbf {S} ({ mathbf {p}} (t))}$ je ve vrcholech ${ displaystyle mathbf {S} _ {i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {N}}}$ systému (v konvexním trupu definovaném vrcholy) pro všechny ${ displaystyle mathbf {p} (t) v Omega}$ . Všimněte si, že polytopický model typu TP lze vždy uvést ve formuláři

{ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t)) = součet _ {r = 1} ^ {R} mathbf {S} _ {r} w_ {r} ( mathbf {p} (t)),}

kde vrcholy jsou stejné jako v polytopickém tvaru typu TP a funkce multi variabilního vážení jsou produktem jedné funkce variabilního vážení podle polytopického tvaru typu TP a r je ekvivalent lineárního indexu multi-lineárního indexování ${ displaystyle i_ {1}, i_ {2}, ldots i_ {N}}$ .

Transformace modelu TP pro modely qLPV

Předpokládejme daný model qLPV ${ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t))}$ , kde ${ displaystyle mathbf {p} (t) v Omega podmnožina R ^ {N}}$ , jehož TP polytopická struktura může být neznámá (např. je dána neurálními sítěmi). Transformace modelu TP určuje jeho TP polytopickou strukturu jako

{ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t)) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (p_ { n} (t))}

,

konkrétně generuje tenzor jádra ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ a váhové funkce ${ displaystyle mathbf {w} _ {n} (p_ {n} (t))}$ pro všechny ${ displaystyle n = 1 ldots N}$ . Jeho bezplatná implementace MATLABu je ke stažení na [3] nebo na MATLAB Central [4].

Pokud daný model nemá (konečný prvek) TP polytopickou strukturu, pak transformace modelu TP určuje jeho aproximaci:

{ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t)) přibližně { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (p_ {n} (t)),}

kde kompromis nabízí transformace modelu TP mezi složitostí (počet vrcholů uložených v tenzoru jádra nebo počtem váhových funkcí) a přesností aproximace.^[8] Model TP lze generovat podle různých omezení. Typické modely TP generované transformací modelu TP jsou:

HOSVD kanonická forma modelů qLPV,
Různé druhy polytopické formy typu TP (tato funkce je velmi důležitá při optimalizaci výkonu řízení).

Návrh ovládání na základě modelu TP

Klíčová metodika

Vzhledem k tomu, že polytopický model typu TP je podmnožinou reprezentací polytopického modelu, jsou metodiky analýzy a návrhu vyvinuté pro polytopické reprezentace použitelné i pro polytopické modely typu TP. Jedním z typických způsobů je hledání nelineárního řadiče ve formě:

{ displaystyle u = - mathbf {F} ( mathbf {p} (t)) mathbf {x} (t) = - součet _ {r = 1} ^ {R} F_ {r} w_ {r } ( mathbf {p} (t)) mathbf {x} (t),}

kde vrcholy ${ displaystyle mathbf {F} _ {r}}$ regulátoru se počítá z ${ displaystyle mathbf {S} _ {r}}$ . Typicky jsou vrcholy ${ displaystyle mathbf {S} _ {r}}$ jsou za účelem určení nahrazeny do nerovností lineární matice ${ displaystyle mathbf {F} _ {r}}$ .

V polytopické formě typu TP je ovladač:

{ displaystyle u = - mathbf {F} ( mathbf {p} (t)) mathbf {x} (t) = - { mathcal {F}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (p_ {n} (t)) mathbf {x} (t),}

kde vrcholy ${ displaystyle mathbf {F} _ {i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {N}}}$ uložené v tenzoru jádra ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ jsou určeny z vrcholů ${ displaystyle mathbf {S} _ {i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {N}}}$ uloženo v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ . Všimněte si, že polytopický pozorovatel nebo jiné komponenty mohou být generovány podobným způsobem, například tyto vrcholy jsou také generovány z ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ .

Konvexní optimalizace založená na manipulaci s trupem

Polytopická reprezentace daného modelu qLPV není neměnná. Tj. daná ${ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t))}$ má ${ displaystyle Z = infty}$ počet různých zobrazení jako:

{ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t)) = { mathcal {S}} _ {z} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {z , n} (p_ {n} (t)),}

kde ${ displaystyle z = 1 ldots Z}$ . Aby bylo možné vygenerovat optimální ovládání daného modelu ${ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t))}$ aplikujeme například LMI. Pokud tedy použijeme vybrané LMI na výše uvedený polytopický model, dostaneme se k:

{ displaystyle u_ {z} = - mathbf {F} _ {z} ( mathbf {p} (t)) mathbf {x} (t) = - { mathcal {F}} _ {z} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {z, n} (p_ {n} (t)) mathbf {x} (t).}

Protože LMI realizují nelineární mapování mezi vrcholy v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ pro každý můžeme najít velmi odlišné řadiče ${ displaystyle z = 1 ldots Z}$ . To znamená, že máme ${ displaystyle Z}$ různý počet „optimálních“ řadičů do stejného systému ${ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t))}$ . Otázkou tedy je: který z „optimálních“ řadičů je skutečně ten optimální. Transformace modelu TP nám umožňuje systematicky manipulovat s váhovými funkcemi, což je ekvivalentní manipulaci s vrcholy. Geometrickým významem této manipulace je manipulace s konvexním trupem definovaným vrcholy. Můžeme snadno prokázat následující fakta:

Utažení konvexního trupu obvykle snižuje konzervativnost řešení, což může vést k lepšímu výkonu kontroly. Například pokud máme polytopické zastoupení

{ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t)) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (p_ { n} (t)),}

daného modelu ${ displaystyle mathbf {S} ( mathbf {p} (t))}$ , pak můžeme vygenerovat řadič jako

{ displaystyle u = - { mathcal {F}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {n} (p_ {n} (t)) mathbf {x} (t ),}

pak jsme vyřešili problém ovládání všech systémů ${ Displaystyle k = 1 ldots K = Infty}$ které mohou být dány stejnými vrcholy, ale s různými váhovými funkcemi jako:

{ displaystyle mathbf {S} _ {k} ( mathbf {p} (t)) = { mathcal {S}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {k , n} (p_ {n} (t)),}

kde

{ displaystyle u_ {k} = - { mathcal {F}} boxtimes _ {n = 1} ^ {N} mathbf {w} _ {k, n} (p_ {n} (t)) mathbf {x} (t).}

Pokud je jeden z těchto systémů velmi těžko kontrolovatelný (nebo dokonce nekontrolovatelný), dospějeme k velmi konzervativnímu řešení (nebo nerealizovatelným LMI). Očekáváme tedy, že během utahování konvexního trupu takové problematické systémy vylučujeme.

Lze také snadno prokázat, že konstrukce pozorovatele obvykle vyžaduje velký konvexní trup. Takže, když navrhujeme kontrolora a pozorovatele, musíme najít optimální konvexní trup mezi těsným a velkým. Stejné práce také ukazují, že použití různých konvexních trupů (je-li použitelný princip separace) pro pozorovatele a kontrolora může vést k ještě lepšímu řešení.

Vlastnosti transformace modelu TP v teoriích qLPV

Může být provedeno jednotně (bez ohledu na to, zda je model uveden ve formě analytických rovnic) vyplývající z fyzikálních úvah, nebo jako výsledek metod identifikace založených na soft computingu (jako jsou neuronové sítě nebo metody založené na fuzzy logice, nebo jako výsledek identifikace černé skříňky), bez analytické interakce, v rozumném čase. Transformace tedy nahrazuje analytické a v mnoha případech složité a ne zjevné převody na numerické, snadno použitelné a přímé operace, které lze provádět rutinním způsobem.
Generuje kanonickou formu modelů qLPV založenou na HOSVD, což je jedinečná reprezentace. Tato forma extrahuje jedinečnou strukturu daného modelu qLPV ve stejném smyslu jako HOSVD pro tenzory a matice, a to takovým způsobem, že:

počet LTI komponent je minimalizován;
váhové funkce jsou jednou proměnnou funkcí vektoru parametrů v ortonormovaném systému pro každý parametr (singulární funkce);
komponenty LTI (komponenty vrcholu) jsou také v ortogonálních polohách;
systémy LTI a funkce vážení jsou seřazeny podle singulárních hodnot vyššího řádu vektoru parametrů;
má jedinečnou formu (s výjimkou některých zvláštních případů);
zavádí a definuje pořadí modelu qLPV podle rozměrů vektoru parametrů;

Základní krok transformace modelu TP byl rozšířen o generování různých typů konvexních polytopických modelů, aby bylo možné se zaměřit na systematickou (numerickou a automatickou) úpravu konvexního trupu namísto vývoje nových LMI rovnic pro proveditelný design řadiče (toto je široce přijímaný přístup). Stojí za zmínku, že jak transformace modelu TP, tak metody návrhu řízení založené na LMI jsou numericky proveditelné jeden po druhém, a to umožňuje řešení široké třídy problémů přímým a traktovatelným numerickým způsobem.
Na základě singulárních hodnot vyššího řádu (které vyjadřují hodnostní vlastnosti daného modelu qLPV, viz výše, pro každý prvek vektoru parametrů v ${ displaystyle L_ {2}}$ Norma), transformace modelu TP nabízí kompromis mezi složitostí modelu TP (polytopická forma),^[8] tedy design LMI a přesnost výsledného modelu TP.
Transformace modelu TP se provede před využitím návrhu LMI. To znamená, že když spustíme návrh LMI, již máme globální funkce vážení a během řízení nepotřebujeme určovat lokální vážení systémů LTI pro získání zpětné vazby, abychom mohli vypočítat hodnotu kontroly v každém bodě hyperprostoru, který by systém měl přes. Předem definované funkce nepřetržitého vážení také zajišťují, že během vážení nedochází k žádnému tření ve vážení.

Reference

^ Baranyi, P. (2004). „Transformace modelu TP jako cesta k návrhu ovladače založeného na LMI“. Transakce IEEE na průmyslovou elektroniku. 51 (2): 387–400. doi:10.1109 / TIE.2003.822037.
^ ^A ^b Baranyi, Péter (2016). Konstrukční rámce řízení založené na transformaci modelu TP. doi:10.1007/978-3-319-19605-3. ISBN 978-3-319-19604-6.
^ Baranyi, Péter; Tikk, Domonkos; Yam, Yeung; Patton, Ron J. (2003). "Od diferenciálních rovnic k návrhu řadiče PDC pomocí numerické transformace". Počítače v průmyslu. 51 (3): 281–297. doi:10.1016 / S0166-3615 (03) 00058-7.
^ Baranyi, Peter (2014). „Generalizovaná transformace modelu TP pro manipulaci s fuzzy modelem T – S a zobecněné ověření stability“. Transakce IEEE na fuzzy systémech. 22 (4): 934–948. doi:10.1109 / TFUZZ.2013.2278982.
^ P. Baranyi; Y. Yam; P. Várlaki (2013). Transformace modelu produktu Tensor v řízení založeném na polytopickém modelu. Boca Raton FL: Taylor & Francis. str. 240. ISBN 978-1-43-981816-9.
^ Szollosi, Alexandra; Baranyi, Peter (2016). „Vliv modelu tenzorového produktu Zastoupení modelů QLPV na proveditelnost nerovnosti lineární matice“. Asijský deník kontroly. 18 (4): 1328–1342. doi:10.1002 / asjc.1238.
^ Szollosi, Alexandra; Baranyi, Peter (2017). „Vylepšený výkon ovládání aeroelastického křídla 3-DoF: optimalizace 2D parametrického výkonu řízení na základě modelu TP“. Asijský deník kontroly. 19 (2): 450–466. doi:10.1002 / asjc.1418.
^ ^A ^b D. Tikk, P. Baranyi, R. J. Patton (2007). "Aproximační vlastnosti vzorových modelů TP a jejich důsledky pro návrhový rámec TPDC". Asijský deník kontroly. 9 (3): 221–331. doi:10.1111 / j.1934-6093.2007.tb00410.x.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1] Baranyi, P. (2004). „Transformace modelu TP jako cesta k návrhu ovladače založeného na LMI“. Transakce IEEE na průmyslovou elektroniku. 51 (2): 387–400. doi:10.1109 / TIE.2003.822037.

[springer.com-2] A ^b Baranyi, Péter (2016). Konstrukční rámce řízení založené na transformaci modelu TP. doi:10.1007/978-3-319-19605-3. ISBN 978-3-319-19604-6.

[3] Baranyi, Péter; Tikk, Domonkos; Yam, Yeung; Patton, Ron J. (2003). "Od diferenciálních rovnic k návrhu řadiče PDC pomocí numerické transformace". Počítače v průmyslu. 51 (3): 281–297. doi:10.1016 / S0166-3615 (03) 00058-7.

[4] Baranyi, Peter (2014). „Generalizovaná transformace modelu TP pro manipulaci s fuzzy modelem T – S a zobecněné ověření stability“. Transakce IEEE na fuzzy systémech. 22 (4): 934–948. doi:10.1109 / TFUZZ.2013.2278982.

[ykc00-5] P. Baranyi; Y. Yam; P. Várlaki (2013). Transformace modelu produktu Tensor v řízení založeném na polytopickém modelu. Boca Raton FL: Taylor & Francis. str. 240. ISBN 978-1-43-981816-9.

[6] Szollosi, Alexandra; Baranyi, Peter (2016). „Vliv modelu tenzorového produktu Zastoupení modelů QLPV na proveditelnost nerovnosti lineární matice“. Asijský deník kontroly. 18 (4): 1328–1342. doi:10.1002 / asjc.1238.

[7] Szollosi, Alexandra; Baranyi, Peter (2017). „Vylepšený výkon ovládání aeroelastického křídla 3-DoF: optimalizace 2D parametrického výkonu řízení na základě modelu TP“. Asijský deník kontroly. 19 (2): 450–466. doi:10.1002 / asjc.1418.

[ykc01-8] A ^b D. Tikk, P. Baranyi, R. J. Patton (2007). "Aproximační vlastnosti vzorových modelů TP a jejich důsledky pro návrhový rámec TPDC". Asijský deník kontroly. 9 (3): 221–331. doi:10.1111 / j.1934-6093.2007.tb00410.x.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]