Tautologický důsledek - Tautological consequence

v výroková logika, tautologický důsledek je přísná forma logický důsledek^[1] ve kterém tautologičnost a tvrzení je zachována z jednoho řádku důkazu do druhého. Ne všechny logické důsledky jsou tautologické důsledky. A tvrzení ${ displaystyle Q}$ se říká, že je tautologickým důsledkem jednoho nebo více dalších návrhů ( ${ displaystyle P_ {1}}$ , ${ displaystyle P_ {2}}$ , ..., ${ displaystyle P_ {n}}$ ) v důkaz s ohledem na některé logický systém pokud je platně schopen vložit tvrzení na řádek důkazu v rámci pravidla systému a ve všech případech, kdy každý z těchto jednoho nebo více dalších návrhů ( ${ displaystyle P_ {1}}$ , ${ displaystyle P_ {2}}$ , ..., ${ displaystyle P_ {n}}$ ) jsou pravdivé, tvrzení ${ displaystyle Q}$ také je pravda.

Dalším způsobem, jak vyjádřit toto zachování tautologičnosti, je použití pravdivostní tabulky. Návrh ${ displaystyle Q}$ se říká, že je tautologickým důsledkem jednoho nebo více dalších návrhů ( ${ displaystyle P_ {1}}$ , ${ displaystyle P_ {2}}$ , ..., ${ displaystyle P_ {n}}$ ) právě tehdy, když v každém řádku společné pravdivé tabulky, která přiřazuje „T“ všem výrokům ( ${ displaystyle P_ {1}}$ , ${ displaystyle P_ {2}}$ , ..., ${ displaystyle P_ {n}}$ ) tabulka pravdy také přiřadí „T“ ${ displaystyle Q}$ .

Příklad

$A$ = "Socrates je muž." $b$ = "Všichni muži jsou smrtelní." $C$ = "Socrates je smrtelný."

A

b

{ displaystyle { proto c}}

Závěr tohoto argumentu je logickým důsledkem předpokladů, protože je nemožné, aby všechny předpoklady byly pravdivé, zatímco závěr nepravdivý.

Společná tabulka pravdy pro A ∧ b a C
A	b	C	A ∧ b	C
T	T	T	T	T
T	T	F	T	F
T	F	T	F	T
T	F	F	F	F
F	T	T	F	T
F	T	F	F	F
F	F	T	F	T
F	F	F	F	F

Po přezkoumání pravdivostní tabulky se ukázalo, že závěr argumentu je ne tautologický důsledek premisy. Ne každý řádek, který přiřadí T premise, také přiřadí T závěru. Zejména je to druhý řádek, který přiřazuje T A ∧ b, ale nepřiřazuje T C.

Označení a vlastnosti

Z definice vyplývá, že pokud propozice p je tedy rozpor p tautologicky implikuje každý návrh, protože neexistuje žádné ocenění pravdy, které by způsobilo p být pravdivý, a tak je definice tautologické implikace triviálně splněna. Podobně, pokud p je tautologie p je tautologicky implikována každým návrhem.

Viz také

Poznámky

^ Barwise a Etchemendy 1999, s. 110

Reference

Barwise, Jon, a John Etchemendy. Jazyk, důkaz a logika. Stanford: Publikace CSLI (Centrum pro studium jazyka a informací), 1999. Tisk.
Kleene, S. C. (1967) Matematická logika, dotisk 2002, Dover Publications, ISBN 0-486-42533-9.

[1] Barwise a Etchemendy 1999, s. 110

[1]