Taitova rovnice - Tait equation - Wikipedia

v mechanika tekutin, Taitova rovnice je stavová rovnice, sloužící k propojení kapaliny hustota na tlak. Rovnici původně publikoval Peter Guthrie Tait v roce 1888 v podobě^[1]

${ displaystyle { frac {V_ {0} -V} {(P-P_ {0}) V_ {0}}} = - { frac {1} {V_ {0}}} { frac { Delta V} { Delta P}} = { frac {A} { Pi + (P-P_ {0})}}}$

kde ${ displaystyle P_ {0}}$ je referenční tlak (za 1 atmosféru), ${ displaystyle P}$ je aktuální tlak, ${ displaystyle V_ {0}}$ je objem čerstvé vody při referenčním tlaku, ${ displaystyle V}$ je objem při aktuálním tlaku a ${ displaystyle A, Pi}$ jsou experimentálně určené parametry.

Populární forma Taitovy rovnice

Kolem roku 1895,^[1] původní izotermická Taitova rovnice byla nahrazena Tammannem rovnicí tvaru

${ displaystyle - { frac {1} {V}} , { frac {dV} {dP}} = { frac {A} {V (B + P)}} ,.}$

Teplotně závislá verze výše uvedené rovnice je známá jako Taitova rovnice a běžně se píše jako^[2]

${ displaystyle beta = - { frac {1} {V}} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné P}} pravé) _ {T} = { frac {0,4343C} { V (B + P)}}}$

nebo v integrované formě

${ displaystyle V = V_ {0} -C log _ {10} left ({ frac {B + P} {B + P_ {0}}} right)}$

kde

• ${ displaystyle beta}$ je stlačitelnost látky (často voda ) (v jednotkách bar⁻¹ nebo Pa)
• ${ displaystyle V }$ je konkrétní objem látky (v jednotkách ml /G nebo m³/kg)
• ${ displaystyle V_ {0}}$ je specifický objem při ${ displaystyle P = P_ {0}}$ = 1 bar
• ${ displaystyle B }$ a ${ displaystyle C }$ jsou funkce teplota které jsou nezávislé na tlaku^[2]

Vzorec tlaku

Vyjádření tlaku z hlediska specifického objemu je

${ displaystyle P = (B + P_ {0}) , 10 ^ { left [- { cfrac {V-V_ {0}} {C}} right]} - B ,.}$

Vzorec hromadného modulu

Tečný objemový modul při tlaku ${ displaystyle P}$ darováno

${ displaystyle K = { frac {V (B + P)} {0,4343C}} = { cfrac { left [V_ {0} -C log _ {10} left ({ cfrac {B + P} {B + P_ {0}}} vpravo) vpravo] (B + P)} {0,4343C}} ,.}$

Murnaghan-Taitova stavová rovnice

Měrný objem jako funkce tlaku předpovězeného Tait-Murnaghanovou stavovou rovnicí.

Další populární izotermická stavová rovnice, která se nazývá „Taitova rovnice“^[3][4] je Murnaghanův model^[5] který je někdy vyjádřen jako

${ displaystyle { frac {V} {V_ {0}}} = vlevo [1 + { frac {n} {K_ {0}}} , (P-P_ {0}) vpravo] ^ { -1 / n}}$

kde ${ displaystyle V}$ je měrný objem při tlaku ${ displaystyle P}$, ${ displaystyle V_ {0}}$ je měrný objem při tlaku ${ displaystyle P_ {0}}$, ${ displaystyle K_ {0}}$ je objemový modul při ${ displaystyle P_ {0}}$, a ${ displaystyle n}$ je materiálový parametr.

Vzorec tlaku

Tuto rovnici v tlakové formě lze psát jako

${ displaystyle P = { frac {K_ {0}} {n}} left [ left ({ frac {V_ {0}} {V}} right) ^ {n} -1 right] + P_ {0} = { frac {K_ {0}} {n}} left [ left ({ frac { rho} { rho _ {0}}} right) ^ {n} -1 vpravo] + P_ {0}.}$

kde ${ displaystyle rho, rho _ {0}}$ jsou hmotnostní hustoty při ${ displaystyle P, P_ {0}}$Pro čistou vodu jsou typické parametry ${ displaystyle P_ {0}}$ = 101 325 Pa, ${ displaystyle rho _ {0}}$ = 1000 kg / m3., ${ displaystyle K_ {0}}$ = 2,15 GPa a ${ displaystyle n}$ = 7.15^{[Citace je zapotřebí ]}.

Všimněte si, že tato forma Tateovy stavové rovnice je identická s tou Murnaghanova stavová rovnice.

Vzorec hromadného modulu

Tečný objemový modul předpovídaný modelem MacDonald-Tait je

${ displaystyle K = K_ {0} left ({ frac {V_ {0}} {V}} right) ^ {n} ,.}$

Tumlirz-Tammann-Taitova stavová rovnice

Tumlirz-Tammann-Taitova stavová rovnice založená na shodě s experimentálními údaji o čisté vodě.

Související stavová rovnice, kterou lze použít k modelování kapalin, je Tumlirz rovnice (někdy nazývaná Tammannova rovnice a původně navrhl Tumlirz v roce 1909 a Tammann v roce 1911 pro čistou vodu).^[1][6] Tento vztah má formu

${ displaystyle V (P, S, T) = V _ { infty} -K_ {1} S + { frac { lambda} {P_ {0} + K_ {2} S + P}}}$

kde ${ displaystyle V (P, S, T)}$ je konkrétní objem, ${ displaystyle P}$ je tlak, ${ displaystyle S}$ je slanost, ${ displaystyle T}$ je teplota a ${ displaystyle V _ { infty}}$ je konkrétní objem, když ${ displaystyle P = infty}$, a ${ displaystyle K_ {1}, K_ {2}, P_ {0}}$ jsou parametry, které lze přizpůsobit experimentálním datům.

Tumlirz-Tammann verze Taitovy rovnice pro sladkou vodu, tj. Kdy ${ displaystyle S = 0}$, je

${ displaystyle V = V _ { infty} + { frac { lambda} {P_ {0} + P}} ,.}$

U čisté vody závislost teploty na ${ displaystyle V _ { infty}, lambda, P_ {0}}$ jsou:^[6]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lambda & = 1788,316 + 21,55053 , T-0,4695911 , T ^ {2} +3,096363 krát 10 ^ {- 3} , T ^ {3} -0,7341182 krát 10 ^ {- 5} , T ^ {4} P_ {0} & = 5918,499 + 58,05267 , T-1,1253317 , T ^ {2} +6,6123869 krát 10 ^ {- 3} , T ^ { 3} -1,4661625 krát 10 ^ {- 5} , T ^ {4} V _ { infty} & = 0,6980547-0,7435626 krát 10 ^ {- 3} , T + 0,3704258 krát 10 ^ {- 4} , T ^ {2} -0,6315724 krát 10 ^ {- 6} , T ^ {3} & + 0,9829576 krát 10 ^ {- 8} , T ^ {4} -0,1197269 krát 10 ^ {- 9} , T ^ {5} +0,1005461 krát 10 ^ {- 11} , T ^ {6} & - 0,5437898 krát 10 ^ {- 14} , T ^ {7} +0,169946 krát 10 ^ {- 16} , T ^ {8} -0,2295063 krát 10 ^ {- 19} , T ^ {9} end {zarovnáno}}}$

Ve výše uvedených případech se jedná o teplotu ${ displaystyle T}$ je ve stupních Celsia, ${ displaystyle P_ {0}}$ je v barech, ${ displaystyle V _ { infty}}$ je v cc / gm a ${ displaystyle lambda}$ je v barech-cc / gm.

Vzorec tlaku

Inverzní vztah Tumlirz-Tammann-Tait pro tlak jako funkce měrného objemu je

${ displaystyle P = { frac { lambda} {V-V _ { infty}}} - P_ {0} ,.}$

Vzorec hromadného modulu

Vzorec Tumlirz-Tammann-Tait pro okamžitou tečnu objemový modul čisté vody je kvadratická funkce ${ displaystyle P}$ (alternativu viz ^[1])

${ displaystyle K = -V , { frac { částečné P} { částečné V}} = { frac {V , lambda} {(V-V _ { infty}) ^ {2}}} = (P_ {0} + P) + { frac {V _ { infty}} { lambda}} (P_ {0} + P) ^ {2} ,.}$

Viz také

• Stavová rovnice

Reference