Věty o limitu Szegő - Szegő limit theorems

v matematická analýza, Věty o limitu Szegő popsat asymptotické chování determinanty velkých Toeplitzovy matice.^[1][2][3] Poprvé je prokázal Gábor Szegő.

Zápis

Nechat φ : T→C být komplexní funkcí ("symbol") na jednotkovém kruhu. Zvažte n×n Toeplitzovy matice T_n(φ), definován

${ displaystyle T_ {n} ( phi) _ {k, l} = { widehat { phi}} (k-l), quad 0 leq k, l leq n-1,}$

kde

${ displaystyle { widehat { phi}} (k) = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} phi (e ^ {i theta}) e ^ {- ik theta} , d theta}$

jsou Fourierovy koeficienty z φ.

První Szegőova věta

První Szegőova věta^[1][4] uvádí, že pokud φ > 0 a φ ∈ L₁(T), pak

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { det T_ {n} ( phi)} { det T_ {n-1} ( phi)}} = exp left { { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} log phi (e ^ {i theta}) , d theta right }.}$

(1)

Pravá strana (1) je geometrický průměr z φ (dobře definované v aritmeticko-geometrický průměr nerovnosti ).

Druhá Szegőova věta

Označte pravou stranu (1) od G. Druhá (nebo silná) Szegőova věta^[1][5] tvrdí, že pokud je navíc odvozen z φ je Hölder kontinuální řádu α > 0, tedy

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { det T_ {n} ( phi)} {G ^ {n} ( phi)}} = exp left { sum _ {k = 1} ^ { infty} k left | { widehat {( log phi)}} (k) right | ^ {2} right }.}$

Reference