Symbolická analýza obvodu - Symbolic circuit analysis

Symbolická analýza obvodu je formální technika analýza obvodu vypočítat chování nebo charakteristiku elektrického / elektronického obvodu s nezávislými proměnnými (čas nebo frekvence), závislými proměnnými (napětí a proudy) a (některé nebo všechny) prvky obvodu představované symboly.^[1]^[2]

Při analýze elektrických / elektronických obvodů můžeme položit dva typy otázek: Co je to hodnota určité proměnné obvodu (Napětí, proud, odpor, získat atd.) nebo co je to vztah mezi některými proměnnými obvodu nebo mezi proměnnou obvodu a součástmi obvodu a frekvencí (nebo časem). Takový vztah může mít podobu grafu, kde jsou vyneseny číselné hodnoty obvodové proměnné proti frekvenci nebo hodnotě komponenty (nejběžnějším příkladem by byl graf velikosti přenosové funkce vs. frekvence).

Analýza symbolických obvodů se týká získání těchto vztahů v symbolické formě, tj. Ve formě analytické vyjádření, kde komplexní frekvence (nebo čas) a některé nebo všechny komponenty obvodu jsou reprezentovány symboly.

Výrazy ve frekvenční doméně

Ve frekvenční doméně je nejběžnějším úkolem analýzy symbolických obvodů získání vztahu mezi vstupní a výstupní proměnnou ve formě racionální funkce v komplexní frekvence ${ displaystyle { mathit {s}} ,}$ a symbolické proměnné ${ displaystyle mathbf {x}}$ :

{ displaystyle T (s, mathbf {x}) = { frac {N (s, mathbf {x})} {D (s, mathbf {x})}}}

Výše uvedený vztah se často nazývá síťová funkce. U fyzických systémů ${ displaystyle N (s, mathbf {x})}$ a ${ displaystyle D (s, mathbf {x})}$ jsou polynomy v ${ displaystyle { mathit {s}} ,}$ se skutečnými koeficienty:

{ displaystyle T (s, mathbf {x}) = { frac { displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} ( mathbf {x}) s ^ {i}} { displaystyle sum _ {i = 0} ^ {m} b_ {i} ( mathbf {x}) s ^ {i}}} = K { frac { displaystyle prod _ {i = 1} ^ { n} (s-z_ {i} ( mathbf {x}))} { displaystyle prod _ {i = 1} ^ {m} (s-p_ {i} ( mathbf {x}))}} }

kde ${ displaystyle z_ {i} ( mathbf {x})}$ jsou nuly a ${ displaystyle p_ {i} ( mathbf {x})}$ jsou póly síťové funkce; ${ displaystyle m geqslant n}$ .

I když existuje několik metod pro generování koeficientů ${ displaystyle a_ {i} ( mathbf {x})}$ a ${ displaystyle b_ {i} ( mathbf {x})}$ , neexistuje žádná technika pro získání přesných symbolických výrazů pro póly a nul pro polynomy řádu vyššího než 5.

Typy symbolických síťových funkcí

V závislosti na tom, které parametry jsou uchovávány jako symboly, můžeme mít několik různých typů symbolických síťových funkcí. To nejlépe ilustruje příklad. Zvažte například biquad filtr obvod s ideální operační zesilovače, je uvedeno níže. Chceme získat vzorec pro jeho propustnost napětí (nazývaný také zisk napětí ) ve frekvenční doméně, ${ displaystyle {T_ {v} (s) = V_ {out} (s) / V_ {in} (s)} ,}$ .

Obrázek 1: Obvod Biquad s ideálními opampy. (Tento diagram byl vytvořen pomocí schematické zachycení funkce SapWin.)

Síťová funkce s s jako jediná proměnná

Pokud je komplexní frekvence ${ displaystyle { mathit {s}} ,}$ je jediná proměnná, vzorec bude vypadat takto (pro jednoduchost použijeme číselné hodnoty: ${ displaystyle R_ {i} = já, C_ {i} = 0,01i ,}$ ):

{ displaystyle T (s) = { frac {3,48 s} {13,2 s ^ {2} + 1,32 s + 0,33}}}

Semi-symbolická síťová funkce

Pokud je komplexní frekvence ${ displaystyle { mathit {s}} ,}$ a některé proměnné obvodu jsou uchovávány jako symboly (semi-symbolická analýza), vzorec může mít podobu:

${ displaystyle { begin {aligned} T (s, mathbf {x}) & = { frac {1.74C_ {2} s} {6.6C_ {1} C_ {2} s ^ {2} + 0,66C_ {2} s + 0,33}} mathbf {x} & = [C_ {1} ~ C_ {2}] end {zarovnáno}}}$

Plně symbolická síťová funkce

Pokud je komplexní frekvence ${ displaystyle { mathit {s}} ,}$ a všechny proměnné obvodu jsou symbolické (plně symbolická analýza), propustnost napětí je dána (zde ${ displaystyle G_ {i} = 1 / R_ {i} ,}$ ):

${ displaystyle { begin {aligned} T (s, mathbf {x}) & = { frac {G_ {4} G_ {6} G_ {8} C_ {2} s} {G_ {6} G_ { 11} C_ {1} C_ {2} s ^ {2} + G_ {1} G_ {6} G_ {11} C_ {2} s + G_ {2} G_ {3} G_ {5} G_ {11} }} mathbf {x} & = [C_ {1} ~ C_ {2} ~ G_ {1} ~ G_ {2} ~ G_ {3} ~ G_ {4} ~ G_ {5} ~ G_ {6 } ~ G_ {8} ~ G_ {11}] end {zarovnáno}}}$

Všechny výše uvedené výrazy jsou mimořádně užitečné při získávání vhledu do provozu obvodu a pochopení toho, jak jednotlivé komponenty přispívají k celkovému výkonu obvodu. Jak se velikost obvodu zvětšuje, počet výrazů v takových výrazech exponenciálně roste. Takže i pro relativně jednoduché obvody jsou vzorce příliš dlouhé, aby mohly mít jakoukoli praktickou hodnotu. Jedním ze způsobů, jak se s tímto problémem vypořádat, je vynechat ze symbolického výrazu numericky nevýznamné výrazy, přičemž bude nevyhnutelná chyba udržována pod předem stanoveným limitem.^[3]

Posloupnost výrazů

Další možností, jak zkrátit symbolický výraz na zvládnutelnou délku, je představit síťovou funkci posloupností výrazů (SoE).^[4] Interpretovatelnost vzorce je samozřejmě ztracena, ale tento přístup je velmi užitečný pro opakované numerické výpočty. Pro generování těchto sekvencí byl vyvinut softwarový balíček STAINS (Symbolická analýza dvou portů pomocí potlačení interního uzlu).^[5] Existuje několik typů SoE, které lze získat od STAINS. Například kompaktní SoE pro ${ displaystyle T_ {v} (y) ,}$ našeho biquadu je

x1 = G5 * G3 / G6x2 = -G1-s * C1-G2 * x1 / (s * C2) x3 = -G4 * G8 / x2Ts = x3 / G11

Výše uvedená sekvence obsahuje zlomky. Pokud to není žádoucí (například když se objeví dělení nulou), můžeme vygenerovat bez zlomků SoE:

x1 = -G2 * G5x2 = G6 * s * C2x3 = -G4 * x2x4 = x1 * G3- (G1 + s * C1) * x2x5 = x3 * G8x6 = -G11 * x4Ts = -x5 / x6

Ještě dalším způsobem, jak zkrátit výraz, je faktorizovat polynomy ${ displaystyle N (s, mathbf {x})}$ a ${ displaystyle D (s, mathbf {x})}$ . Pro náš příklad je to velmi jednoduché a vede k:

Num = G4 * G6 * G8 * s * C2Den = G11 * ((G1 + s * C1) * G6 * s * C2 + G2 * G3 * G5) Ts = Num / Den

U větších obvodů je však faktorizace obtížná kombinační konečný výsledek může být nepraktický pro interpretaci i numerické výpočty.

Viz také

externí odkazy

PODVOD - MATLAB skript pro výpočet funkcí přenosu symbolických obvodů.
Jak používat Wolfram System Modeller k provádění symbolické analýzy obvodů.

Reference

^ G. Gielen a W. Sansen, Symbolická analýza pro automatizovaný návrh analogových integrovaných obvodů. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991.
^ Labrèche P., prezentace: Lineární elektrické obvody: Symbolická analýza sítě, 1977
^ B. Rodanski, M. Hassoun, "Symbolická analýza", v příručce Obvody a filtry: Základy obvodů a filtrů, 3. vydání, Wai-Kai Chen, editor. CRC Press, 2009, s. 25-1 - 25-29.
^ M. Pierzchala, B. Rodanski, „Generování sekvenčních symbolických síťových funkcí pro sítě velkého rozsahu redukcí obvodu na dva porty,“ Transakce IEEE na obvodech a systémech I: Základní teorie a aplikace, sv. 48, č. 7, červenec 2001, str. 906-909.
^ L.P. Huelsman, „STAINS - Symbolic Two-Port Analysis via Internal Node Suppression,“ IEEE Circuits & Devices Magazine, březen 2002, str. 3-6.

[1] G. Gielen a W. Sansen, Symbolická analýza pro automatizovaný návrh analogových integrovaných obvodů. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991.

[2] Labrèche P., prezentace: Lineární elektrické obvody: Symbolická analýza sítě, 1977

[3] B. Rodanski, M. Hassoun, "Symbolická analýza", v příručce Obvody a filtry: Základy obvodů a filtrů, 3. vydání, Wai-Kai Chen, editor. CRC Press, 2009, s. 25-1 - 25-29.

[4] M. Pierzchala, B. Rodanski, „Generování sekvenčních symbolických síťových funkcí pro sítě velkého rozsahu redukcí obvodu na dva porty,“ Transakce IEEE na obvodech a systémech I: Základní teorie a aplikace, sv. 48, č. 7, červenec 2001, str. 906-909.

[5] L.P. Huelsman, „STAINS - Symbolic Two-Port Analysis via Internal Node Suppression,“ IEEE Circuits & Devices Magazine, březen 2002, str. 3-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]