Součtové pravidlo v kvantové mechanice - Sum rule in quantum mechanics

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Součtové pravidlo v kvantové mechanice“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červen 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v kvantová mechanika, a pravidlo součtu je vzorec pro přechody mezi energetickými hladinami, ve kterém je součet sil přechodu vyjádřen v jednoduché formě. Pravidla součtu se používají k popisu vlastností mnoha fyzikálních systémů, včetně pevných látek, atomů, atomových jader a jaderných složek, jako jsou protony a neutrony.

Součtová pravidla jsou odvozena z obecných principů a jsou užitečná v situacích, kdy je chování jednotlivých energetických hladin příliš složité na to, aby je bylo možné popsat přesnou kvantově-mechanickou teorií. Obecně jsou pravidla součtu odvozena pomocí Heisenberg Kvantově-mechanická algebra pro konstrukci operátorových rovností, které se pak aplikují na částice nebo energetické úrovně systému.

Odvození pravidel součtu^[1]

Předpokládejme, že Hamiltonian ${displaystyle {hat {H}}}$ má kompletní sadu vlastních funkcí ${displaystyle | nangle}$ s vlastními hodnotami${displaystyle E_ {n}}$:

${displaystyle {hat {H}} | nangle = E_ {n} | nangle.}$

Pro Hermitovský operátor ${displaystyle {hat {A}}}$ definujeme opakovaný komutátor ${displaystyle {hat {C}} ^ {(k)}}$ iterativně:

${displaystyle {egin {aligned} {hat {C}} ^ {(0)} & equiv {hat {A}} {hat {C}} ^ {(1)} & equiv [{hat {H}}, {hat {A}}] = {hat {H}} {hat {A}} - {hat {A}} {hat {H}} {hat {C}} ^ {(k)} & equiv [{hat {H }}, {hat {C}} ^ {(k-1)}], k = 1,2, ldots end {zarovnáno}}}$

Operátor ${displaystyle {hat {C}} ^ {(0)}}$ je Hermitian od té doby ${displaystyle {hat {A}}}$je definován jako Hermitian. Operátor ${displaystyle {hat {C}} ^ {(1)}}$ isanti-Hermitian:

${displaystyle left ({hat {C}} ^ {(1)} ight) ^ {dagger} = ({hat {H}} {hat {A}}) ^ {dagger} - ({hat {A}} { hat {H}}) ^ {dagger} = {hat {A}} {hat {H}} - {hat {H}} {hat {A}} = - {hat {C}} ^ {(1)} .}$

Indukcí zjistíme:

${displaystyle left ({hat {C}} ^ {(k)} ight) ^ {dagger} = (- 1) ^ {k} {hat {C}} ^ {(k)}}$

a také

${displaystyle langle m | {hat {C}} ^ {(k)} | nangle = (E_ {m} -E_ {n}) ^ {k} langle m | {hat {A}} | nangle.}$

Pro hermitovského operátora máme

${displaystyle | langle m | {hat {A}} | nangle | ^ {2} = langle m | {hat {A}} | nangle langle m | {hat {A}} | nangle ^ {ast} = langle m | {hat {A}} | nangle langle n | {hat {A}} | mangle.}$

Pomocí tohoto vztahu odvodíme:

${displaystyle {egin {aligned} langle m | [{hat {A}}, {hat {C}} ^ {(k)}] | mangle & = langle m | {hat {A}} {hat {C}} ^ {(k)} | mangle -langle m | {hat {C}} ^ {(k)} {hat {A}} | mangle & = sum _ {n} langle m | {hat {A}} | nangle langle n | {hat {C}} ^ {(k)} | mangle -langle m | {hat {C}} ^ {(k)} | nangle langle n | {hat {A}} | mangle & = sum _ {n} langle m | {hat {A}} | nangle langle n | {hat {A}} | mangle (E_ {n} -E_ {m}) ^ {k} - (E_ {m} -E_ {n}) ^ {k} langle m | {hat {A}} | nangle langle n | {hat {A}} | mangle & = sum _ {n} (1 - (- 1) ^ {k}) (E_ {n} -E_ {m}) ^ {k} | langle m | {hat {A}} | nangle | ^ {2} .end {aligned}}}$

Výsledek lze zapsat jako

${displaystyle langle m | [{hat {A}}, {hat {C}} ^ {(k)}] | mangle = {egin {cases} 0, & {mbox {if}} k {mbox {is even} } 2sum _ {n} (E_ {n} -E_ {m}) ^ {k} | langle m | {hat {A}} | nangle | ^ {2}, & {mbox {if}} k {mbox {is odd}}. end {cases}}}$

Pro ${displaystyle k = 1}$ toto dává:

${displaystyle langle m | [{hat {A}}, [{hat {H}}, {hat {A}}]] | mangle = 2sum _ {n} (E_ {n} -E_ {m}) | langle m | {hat {A}} | nangle | ^ {2}.}$

Příklad

Vidět síla oscilátoru.

Reference