Steinersův počet - Steiners calculus problem - Wikipedia

Steinerův problém, zeptal se a odpověděl Steiner (1850), je problém najít maximum z funkce

${ displaystyle f (x) = x ^ {1 / x}. ,}$^[1]

Je pojmenován po Jakob Steiner.

Maximum je na ${ displaystyle x = e}$, kde E označuje základ přirozených logaritmů. Dá se to zjistit řešením ekvivalentního problému maximalizace

${ displaystyle g (x) = ln f (x) = { frac { ln x} {x}}.}$

The derivát z ${ displaystyle g}$ lze vypočítat jako

${ displaystyle g '(x) = { frac {1- ln x} {x ^ {2}}}.}$

Z toho vyplývá, že ${ displaystyle g '(x)}$ je pozitivní pro ${ displaystyle 0$ a negativní pro ${ displaystyle x> e}$, což z toho vyplývá ${ displaystyle g (x)}$ (a proto ${ displaystyle f (x)}$) se zvyšuje pro ${ displaystyle 0$ a klesá pro ${ displaystyle x> e.}$ Tím pádem, ${ displaystyle x = e}$ je jedinečné globální maximum ${ displaystyle f (x).}$

Reference

• Steiner, J. (1850), „Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl“ (PDF), Crelle, 40: 208