Věta o Davidově hvězdě - Star of David theorem

The Věta o Davidově hvězdě (řádky Pascalova trojúhelníku jsou zde zobrazeny jako sloupce).

The Věta o Davidově hvězdě je matematický výsledek na aritmetický vlastnosti binomické koeficienty. Objevil jej Henry W. Gould v roce 1972.

Prohlášení

The největší společní dělitelé binomických koeficientů tvořících každý ze dvou trojúhelníků v Davidova hvězda tvar dovnitř Pascalův trojúhelník jsou rovny:

${ displaystyle { begin {aligned} & gcd left {{ binom {n-1} {k-1}}, { binom {n} {k + 1}}, { binom {n + 1} {k}} right } [8pt] = {} & gcd left {{ binom {n-1} {k}}, { binom {n} {k-1}} , { binom {n + 1} {k + 1}} doprava }. end {zarovnáno}}}$

Příklady

Řádky 8, 9 a 10 Pascalova trojúhelníku jsou

			1		8		28		56		70		56		28		8		1
		1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
	1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

Pro n=9, k= 3 nebo n=9, k= 6, prvek 84 je obklopen postupně prvky 28, 56, 126, 210, 120, 36. Vezmeme-li střídavé hodnoty, máme gcd (28, 126, 120) = 2 = gcd (56, 210, 36).

Prvek 36 je obklopen posloupností 8, 28, 84, 120, 45, 9 a při střídání hodnot máme gcd (8, 84, 45) = 1 = gcd (28, 120, 9).

Zobecnění

Výše uvedený největší společný dělitel se také rovná ${ displaystyle gcd left ({n-1 zvolit k-2}, {n-1 zvolit k-1}, {n-1 zvolit k}, {n-1 zvolit k + 1} že jo).}$^[1] Takže ve výše uvedeném příkladu pro prvek 84 (v jeho nejpravějším vzhledu) máme také gcd (70, 56, 28, 8) = 2. Tento výsledek má zase další zobecnění.

Související výsledky

Dvě sady tří čísel, o nichž říká Davidova věta, že mají stejné největší společné dělitele, mají také stejné produkty.^[1] Například opět pozorujeme, že prvek 84 je obklopen postupně prvky 28, 56, 126, 210, 120, 36, a opět při střídání hodnot máme 28 × 126 × 120 = 2⁶×3³×5×7² = 56 × 210 × 36. Tento výsledek lze potvrdit zapsáním každého binomického koeficientu ve faktoriální podobě pomocí

${ displaystyle {a zvolit b} = { frac {a!} {(a-b)! b!}}.}$

Viz také

• Seznam faktoriálních a binomických témat

Reference

• H. W. Gould, „Nový největší společný dělitel binomických koeficientů“, Fibonacci čtvrtletně 10 (1972), 579–584.
• Věta o Davidově hvězdě, z MathForum.
• Věta o Davidově hvězdě, příspěvek na blogu.

externí odkazy

• Demonstrace věty o Davidově hvězdě, v Mathematica.