Spt funkce - Spt function - Wikipedia

The funkce spt (funkce nejmenších částí) je funkce v teorie čísel který počítá součet počtu nejmenších částí v každé z nich rozdělit kladného celého čísla. Souvisí to s funkce oddílu.

Prvních několik hodnot spt (n) jsou:

1, 3, 5, 10, 14, 26, 35, 57, 80, 119, 161, 238, 315, 440, 589 ... (sekvence A092269 v OEIS )

Příklad

Například existuje pět oddílů po 4 (s nejmenšími částmi podtrženými):

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

Tyto oddíly mají 1, 1, 2, 2 a 4 nejmenší části. Takže spt (4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10.

Vlastnosti

Stejně jako funkce oddílu, spt (n) má generující funkce. Je to dáno

${ displaystyle S (q) = součet _ {n = 1} ^ { infty} mathrm {spt} (n) q ^ {n} = { frac {1} {(q) _ { infty} }} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {q ^ {n} prod _ {m = 1} ^ {n-1} (1-q ^ {m})} {1 -q ^ ​​{n}}}}$

kde ${ displaystyle (q) _ { infty} = prod _ {n = 1} ^ { infty} (1-q ^ {n})}$.

Funkce ${ displaystyle S (q)}$ souvisí s a falešná modulární forma. Nechat ${ displaystyle E_ {2} (z)}$ označit váhu 2 kvazi-modulární Eisensteinova řada a nechte ${ displaystyle eta (z)}$ označit Funkce Dedekind eta. Pak pro ${ displaystyle q = e ^ {2 pi iz}}$, funkce

${ displaystyle { tilde {S}} (z): = q ^ {- 1/24} S (q) - { frac {1} {12}} { frac {E_ {2} (z)} { eta (z)}}}$

je falešná modulární forma hmotnosti 3/2 v plném rozsahu modulární skupina ${ displaystyle SL_ {2} ( mathbb {Z})}$ s multiplikačním systémem ${ displaystyle chi _ { eta} ^ {- 1}}$, kde ${ displaystyle chi _ { eta}}$ je multiplikační systém pro ${ displaystyle eta (z)}$.

Zatímco uzavřený vzorec není pro spt (n), existují podobné Ramanujan shody počítaje v to

${ displaystyle mathrm {spt} (5n + 4) equiv 0 mod (5)}$

${ displaystyle mathrm {spt} (7n + 5) equiv 0 mod (7)}$

${ displaystyle mathrm {spt} (13n + 6) equiv 0 mod (13)}$ ^[1]

Reference

Tento teorie čísel související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.