Sféro - Spherium

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Fyzika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Říjen 2009)

„sféro"model se skládá ze dvou elektrony uvězněný na povrchu a koule poloměru ${ displaystyle R}$. Používal ji Berry a spolupracovníci ^[1] porozumět slabě i silně korelovaným systémům a navrhnout "alternativní" verzi systému Hundovo pravidlo. Seidl studuje tento systém v kontextu hustota funkční teorie (DFT) vyvíjet nové korelační funkcionály v rámci adiabatické spojení.^[2]

Definice a řešení

Elektronické Hamiltonian v atomových jednotkách je

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { nabla _ {1} ^ {2}} {2}} - { frac { nabla _ {2} ^ {2}} {2} } + { frac {1} {u}}}$

kde ${ displaystyle u}$ je interelektronická vzdálenost. Pro stavy singletu S ji lze zobrazit^[3] že vlnová funkce ${ displaystyle S (u)}$ uspokojuje Schrödingerova rovnice

${ displaystyle left ({ frac {u ^ {2}} {4R ^ {2}}} - 1 right) { frac {d ^ {2} S (u)} {du ^ {2}} } + left ({ frac {3u} {4R ^ {2}}} - { frac {1} {u}} right) { frac {dS (u)} {du}} + { frac {1} {u}} S (u) = ES (u)}$

Zavedením bezrozměrné proměnné ${ displaystyle x = u / 2R}$, toto se stává Heunova rovnice se singulárními body v ${ displaystyle x = -1,0, + 1}$. Na základě známých řešení Heunovy rovnice hledáme vlnové funkce formy

${ displaystyle S (u) = součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {k} , u ^ {k}}$

a dosazením do předchozí rovnice se získá relace opakování

${ displaystyle s_ {k + 2} = { frac {s_ {k + 1} + left [k (k + 2) { frac {1} {4R ^ {2}}} - E right] s_ {k}} {(k + 2) ^ {2}}}}$

s počátečními hodnotami ${ displaystyle s_ {0} = s_ {1} = 1}$. To znamená, že Kato stav hrotu je

${ displaystyle { frac {S '(0)} {S (0)}} = 1}$.

Funkce vln se redukuje na polynomiální

${ displaystyle S_ {n, m} (u) = součet _ {k = 0} ^ {n} s_ {k} , u ^ {k}}$

(kde ${ displaystyle m}$ počet kořenů mezi ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle 2R}$) pokud, a pouze pokud, ${ displaystyle s_ {n + 1} = s_ {n + 2} = 0}$. Energie tedy ${ displaystyle E_ {n, m}}$ je kořen polynomiální rovnice ${ displaystyle s_ {n + 1} = 0}$ (kde ${ displaystyle deg s_ {n + 1} = lfloor (n + 1) / 2 rfloor}$) a odpovídající poloměr ${ displaystyle R_ {n, m}}$ se nachází z předchozí rovnice, která dává

${ displaystyle R_ {n, m} ^ {2} E_ {n, m} = { frac {n} {2}} vlevo ({ frac {n} {2}} + 1 vpravo)}$

${ displaystyle S_ {n, m} (u)}$ je přesná vlnová funkce ${ displaystyle m}$-th vzrušený stav singletové S symetrie pro poloměr ${ displaystyle R_ {n, m}}$.

Víme z práce Loose a Gilla ^[3] že HF energie stavu nejnižšího singletu S je ${ displaystyle E _ { rm {HF}} = 1 / R}$. Z toho vyplývá, že přesná korelační energie pro ${ displaystyle R = { sqrt {3}} / 2}$ je ${ displaystyle E _ { rm {corr}} = 1-2 / { sqrt {3}} přibližně -0,1547}$ což je mnohem větší než omezující korelační energie heliových iontů (${ displaystyle -0,0467}$) nebo Hookeovy atomy (${ displaystyle -0,0497}$). To potvrzuje názor, že elektronová korelace na povrchu koule se kvalitativně liší od korelace v trojrozměrném fyzickém prostoru.

Spherium na 3 sféře

Loos a Gill^[4] považován za případ dvou elektronů omezených na a 3 koule odpuzující Coulombically. Hlásí energii základního stavu (${ displaystyle -.0476}$).

Viz také

• Seznam kvantově-mechanických systémů s analytickými řešeními

Reference

Další čtení

• Loos, P.-F .; Gill, P. M. W. (2009), „Dva elektrony v hypersféře: téměř řešitelný model“, Dopisy o fyzické kontrole, 103 (12): 123008, arXiv:1002.3400, Bibcode:2009PhRvL.103l3008L, doi:10.1103 / physrevlett.103.123008, PMID  19792435, S2CID  11611242