Sommerfeldův radiační stav - Sommerfeld radiation condition

Arnold Sommerfeld definoval podmínku záření pro skalární pole splňující Helmholtzova rovnice tak jako

„zdroje musí být zdroji, nikoli propady energie. Energie, která je vyzařována ze zdrojů, se musí rozptylovat do nekonečna; žádná energie nesmí být vyzařována z nekonečna do ... pole.“^[1]

Matematicky zvažte nehomogenní Helmholtzova rovnice

${displaystyle (abla ^ {2} + k ^ {2}) u = -f {mbox {in}} mathbb {R} ^ {n}}$

kde ${displaystyle n = 2,3}$ je rozměr prostoru, ${displaystyle f}$ je daná funkce s kompaktní podpora představující omezený zdroj energie a ${displaystyle k> 0}$ je konstanta, která se nazývá vlnové číslo. Řešení ${displaystyle u}$ této rovnici se říká vyzařující pokud vyhovuje Sommerfeldův radiační stav

${displaystyle lim _ {| x | o infty} | x | ^ {frac {n-1} {2}} vlevo ({frac {částečné} {částečné | x |}} - ikight) u (x) = 0}$

jednotně ve všech směrech

${displaystyle {hat {x}} = {frac {x} {| x |}}}$

(výše, ${displaystyle i}$ je imaginární jednotka a ${displaystyle | cdot |}$ je Euklidovská norma ). Zde se předpokládá, že časově harmonické pole je ${displaystyle e ^ {- iomega t} u.}$ Pokud je místo toho časově harmonické pole ${displaystyle e ^ {iomega t} u,}$ jeden by měl nahradit ${displaystyle -i}$ s ${displaystyle + i}$ ve stavu Sommerfeldova záření.

Podmínka Sommerfeldova záření se používá k jedinečnému řešení Helmholtzovy rovnice. Zvažte například problém záření způsobeného bodovým zdrojem ${displaystyle x_ {0}}$ ve třech rozměrech, takže funkce ${displaystyle f}$ v Helmholtzově rovnici je ${displaystyle f (x) = delta (x-x_ {0}),}$ kde ${displaystyle delta}$ je Diracova delta funkce. Tento problém má nekonečné množství řešení, například jakoukoli funkci formuláře

${displaystyle u = cu _ {+} + (1-c) u _ {-},}$

kde ${displaystyle c}$ je konstanta a

${displaystyle u_ {pm} (x) = {frac {e ^ {pm ik | x-x_ {0} |}} {4pi | x-x_ {0} |}}.}$

Ze všech těchto řešení pouze ${displaystyle u _ {+}}$ vyhovuje podmínce Sommerfeldova záření a odpovídá poli vyzařujícímu z ${displaystyle x_ {0}.}$ Ostatní řešení jsou nefyzická. Například, ${displaystyle u _ {-}}$ lze interpretovat jako energii přicházející z nekonečna a potápící se v ${displaystyle x_ {0}.}$

Reference

• Martin, P. A (2006). Vícenásobný rozptyl: interakce časově harmonických vln s N překážkami. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN  0-521-86554-9.
• „Osmdesát let radiačního stavu Sommerfeldu“, Steven H. Schot, Historia Mathematica 19, # 4 (listopad 1992), str. 385-401, doi:10.1016 / 0315-0860 (92) 90004-U.

externí odkazy

• A. G. Sveshnikov (2001) [1994], „Radiační podmínky“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS