Jednoduchá racionální aproximace - Simple rational approximation

Jednoduchá racionální aproximace (SRA) je podmnožinou interpolovat metody využívající racionální funkce. Zejména SRA interpoluje danou funkci se specifickou racionální funkcí, jejíž póly a nuly jsou jednoduché, což znamená, že v pólech a nulách není multiplicita. Někdy to znamená pouze jednoduché póly.

Hlavní aplikace SRA spočívá v hledání nuly z sekulární funkce. A algoritmus rozděl a panuj najít vlastní čísla a vlastní vektory pro různé druhy matice je dobře známý v numerická analýza. V užším slova smyslu znamená SRA konkrétní interpolace pomocí jednoduchých racionálních funkcí jako součásti algoritmu rozděl a panuj. Protože takové sekulární funkce sestávají z řady racionálních funkcí s jednoduchými póly, je SRA nejlepším kandidátem na interpolaci nul sekulární funkce. Navíc na základě předchozích výzkumů lze jednoduchou nulu, která leží mezi dvěma sousedními póly, značně dobře interpolovat použitím racionální funkce se dvěma dominantními póly jako aproximační funkce.

Jednobodová iterativní metoda třetího řádu: Halleyho vzorec

Původ interpolace s racionálními funkcemi lze najít v předchozí práci, kterou provedl Edmond Halley. Halleyův vzorec je známá jako jednobodová iterativní metoda třetího řádu ${displaystyle, f (x) = 0}$ pomocí aproximace racionální funkce definované

${displaystyle h (z) = {frac {a} {z + b}} + c.}$

Můžeme určit a, bac tak, že

${displaystyle h ^ {(i)} (x) = f ^ {(i)} (x), qquad i = 0,1,2.}$

Pak řešení ${displaystyle, h (z) = 0}$ získá iteraci

${displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}} vlevo ({frac {1} {1- {frac {f (x_ {n}) f '' (x_ {n})} {2 (f '(x_ {n})) ^ {2}}}}} vpravo).}$

Toto se označuje jako Halleyův vzorec geometrická interpretace ${displaystyle h (z)}$ byl odvozen Ganderem (1978), kde ekvivalentní iterace byla také odvozena použitím Newtonovy metody na

${displaystyle g (x) = {frac {f (x)} {sqrt {f '(x)}}} = 0.}$

Říkáme tomu algebraická interpretace ${displaystyle g (x)}$ Halleyova vzorce.

Jednobodová iterativní metoda druhého řádu: Jednoduchá racionální aproximace

Podobně můžeme odvodit variaci Halleyova vzorce na základě jednoho bodu druhá objednávka iterativní metoda k řešení ${displaystyle, f (x) = alfa (eq 0)}$ pomocí jednoduché racionální aproximace pomocí

${displaystyle h (z) = {frac {a} {z + b}}.}$

Pak musíme vyhodnotit

${displaystyle h ^ {(i)} (x) = f ^ {(i)} (x), qquad i = 0,1.}$

Tak to máme

${displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {frac {f (x_ {n}) - alpha} {f '(x_ {n})}} vlevo ({frac {f (x_ {n}) } {alpha}} ight).}$

Algebraická interpretace této iterace se získá řešením

${displaystyle g (x) = 1- {frac {alpha} {f (x)}} = 0.}$

Je známo, že tato jednobodová metoda druhého řádu ukazuje lokálně kvadratickou konvergenci, pokud je kořen rovnice jednoduchý. SRA striktně implikuje tuto jednobodovou interpolaci druhého řádu jednoduchou racionální funkcí.

Můžeme si všimnout, že i metoda třetího řádu je variací Newtonovy metody. Vidíme, že Newtonovy kroky jsou znásobeny některými faktory. Tyto faktory se nazývají konvergenční faktory variant, které jsou užitečné pro analýzu rychlosti konvergence. Viz Gander (1978).

Reference

• Demmel, James W. (1997), Aplikovaná numerická lineární algebra, Philadelphia, PA: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, ISBN  0-89871-389-7, PAN  1463942.
• Elhay, S .; Golub, G. H.; Ram, Y. M. (2003), "Spektrum modifikované lineární tužky", Počítače a matematika s aplikacemi, 46 (8–9): 1413–1426, doi:10.1016 / S0898-1221 (03) 90229-X, PAN  2020255.
• Gu, Ming; Eisenstat, Stanley C. (1995), „Algoritmus rozdělení a dobývání pro symetrický tridiagonální vlastní problém“ (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 16 (1): 172–191, doi:10.1137 / S0895479892241287, PAN  1311425.
• Gander, Walter (1978), Na problému lineárních nejmenších čtverců s kvadratickým omezením, Stanfordská Univerzita, School of Humanities and Sciences, Computer Science Dept..