Simonsův vzorec - Simons formula - Wikipedia

V matematické oblasti diferenciální geometrie, Simonsův vzorec (také známý jako Simonsova identita, a v některých variantách jako Simonsova nerovnost) je základní rovnicí při studiu minimální dílčí potrubí. Objevil jej James Simons v roce 1968.^[1] Lze jej zobrazit jako vzorec pro Laplacian z druhá základní forma a Riemannian submanifold. Často je citován a používán v méně přesné formě vzorce nebo nerovnosti pro Laplacian o délce druhé základní formy.

V případě hyperplochy M z Euklidovský prostor, vzorec to tvrdí

${ displaystyle { frac {1} {2}} Delta h = operatorname {Hess} H + Hh ^ {2} - | h | ^ {2} h,}$

kde vzhledem k místnímu výběru normálního vektorového pole jednotky, h je druhá základní forma, H je střední zakřivení, a h² je symetrický 2-tenzor zapnutý M dána h²
_ij = G^pqh_iph_qj.^[2]To má za následek, že

${ displaystyle { frac {1} {2}} Delta | h | ^ {2} = | nabla h | ^ {2} - | h | ^ {4} + langle h, operatorname {Hess} H rangle + H operatorname {tr} (A ^ {3})}$

kde A je operátor tvaru.^[3] V tomto nastavení je derivace obzvláště jednoduchá:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Delta h_ {ij} & = nabla ^ {p} nabla _ {p} h_ {ij} & = nabla ^ {p} nabla _ {i} h_ {jp} & = nabla _ {i} nabla ^ {p} h_ {jp} - {{R ^ {p}} _ {ij}} ^ {q} h_ {qp} - {{R ^ {p}} _ {ip}} ^ {q} h_ {jq} & = nabla _ {i} nabla _ {j} H- (h ^ {pq} h_ {ij} -h_ {j} ^ {p} h_ {i} ^ {q}) h_ {qp} - (h ^ {pq} h_ {ip} -Hh_ {i} ^ {q}) h_ {jq} & = nabla _ { i} nabla _ {j} H- | h | ^ {2} h + Hh ^ {2}; end {zarovnáno}}}$

jediným zapojeným nástrojem je Codazziho rovnice (rovnosti # 2 a 4), Gaussova rovnice (rovnost # 4) a identita komutace pro kovariantní diferenciaci (rovnost # 3). Obecnější případ hyperplochy v Riemannově varietě vyžaduje další termíny týkající se Riemannův tenzor zakřivení.^[4] V ještě obecnějším nastavení libovolné codimensione zahrnuje vzorec komplikovaný polynom ve druhé základní formě.^[5]

Reference

Poznámky pod čarou

Knihy

• Tobias Holck Colding a William P. Minicozzi, II. Kurz na minimálních plochách. Postgraduální studium matematiky, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii + 313 pp. ISBN  978-0-8218-5323-8
• Enrico Giusti. Minimální povrchy a funkce omezené variace. Monografie z matematiky, 80. Birkhäuser Verlag, Basilej, 1984. xii + 240 stran. ISBN  0-8176-3153-4
• Leon Simon. Přednášky o teorii geometrických měr. Sborník z Centra pro matematickou analýzu, Australian National University, 3. Australian National University, Center for Mathematical Analysis, Canberra, 1983. vii + 272 pp. ISBN  0-86784-429-9

Články

• SS Chern, M. do Carmo a S. Kobayashi. Minimální dílčí potrubí koule s druhou základní formou konstantní délky. Funkční analýza a související pole (1970), 59–75. Sborník z konference na počest profesora Marshalla Stonea, která se konala na University of Chicago, květen 1968. Springer, New York. Upravil Felix E. Browder. doi:10.1007/978-3-642-48272-4_2
• Gerhard Huisken. Tok středním zakřivením konvexních povrchů do koulí. J. Diferenciální Geom. 20 (1984), č. 2. 1, 237–266. doi:10,4310 / jdg / 1214438998
• Gerhard Huisken. Kontrakční konvexní hyperplochy v Riemannově varietě podle jejich průměrného zakřivení. Vymyslet. Matematika. 84 (1986), č. 1. 3, 463–480. doi:10.1007 / BF01388742
• James Simons. Minimální odrůdy v Riemannovských varietách. Ann. matematiky. (2) 88 (1968), 62–105. doi:10.2307/1970556