Systém podobnosti trojúhelníků - Similarity system of triangles

A podobnostní systém trojúhelníků je specifická konfigurace zahrnující sadu trojúhelníků.^[1] Sada trojúhelníků je považována za konfigurace když všechny trojúhelníky sdílejí minimálně jeden vztah dopadu s jedním z ostatních trojúhelníků přítomných v sadě.^[1] An vztah výskytu mezi trojúhelníky označuje okamžik, kdy dva trojúhelníky sdílejí bod. Například dva trojúhelníky vpravo, ${ displaystyle AHC}$ a ${ displaystyle BHC}$ , jsou konfigurace složená ze dvou vztahů incidentů, protože bodů ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle H}$ jsou sdíleny. Trojúhelníky, které tvoří konfigurace, se označují jako trojúhelníky komponent.^[1] Trojúhelníky musí být nejen součástí konfigurační sady, která má být v systému podobnosti, ale musí být také přímo podobné.^[1] Přímá podobnost znamená, že všechny úhly jsou mezi dvěma danými trojúhelníky stejné a že sdílejí stejný rotační smysl.^[2] Jak je vidět na sousedních obrázcích, v přímo podobných trojúhelnících je rotace ${ displaystyle B}$ na ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle B ^ {1}}$ na ${ displaystyle C ^ {1}}$ dochází ve stejném směru. V protilehlých podobných trojúhelnících je rotace ${ displaystyle B}$ na ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle B ^ {1}}$ na ${ displaystyle C ^ {1}}$ dochází v opačném směru. Stručně řečeno, konfigurace je systém podobnosti, když všechny trojúhelníky v množině leží ve stejné rovině a platí: pokud existují n trojúhelníky v sadě a n - 1 trojúhelníky jsou si přímo podobné, potom n trojúhelníků je si přímo podobných.^[1]

Pozadí

J.G. Mauldon ve svém příspěvku představil myšlenku systémů podobnosti trojúhelníků Matematický časopis "Podobné trojúhelníky".^[1] Mauldon zahájil své analýzy zkoumáním daných trojúhelníků ${ displaystyle ABC, XYZ}$ pro přímou podobnost prostřednictvím komplexních čísel, konkrétně rovnice ${ displaystyle { begin {vmatrix} a & b & c x & y & z 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} = 0}$ .^[1] Poté provedl své analýzy na rovnostranné trojúhelníky, což ukázal, že pokud trojúhelník ${ displaystyle ABC}$ uspokojil rovnici ${ displaystyle a + wb + w ^ {2} c = 0}$ když ${ displaystyle w = { frac {-1 + i surd 3} {2}}}$ , bylo to rovnostranné.^[1] Jako důkaz této práce použil své dohady o přímé podobnosti a rovnostranných trojúhelnících při dokazování Napoleonova věta.^[1] Poté vybudoval Napoleona tím, že dokázal, že pokud byl zkonstruován rovnostranný trojúhelník s rovnostrannými trojúhelníky dopadajícími na každý vrchol, středy spojnic mezi neřízenými vrcholy vnějších tří rovnostranných trojúhelníků vytvářejí rovnostranný trojúhelník.^[1] Další podobné práce provedl francouzský geometr Thébault v jeho důkazu, že vzhledem k rovnoběžníku a čtvercům, které leží na každé straně rovnoběžníku, vytvářejí středy čtverců čtverec.^[3] Mauldon poté analyzoval koplanární sady trojúhelníků a určil, zda se jedná o systémy podobnosti založené na kritériu, pokud jsou všechny trojúhelníky kromě jednoho přímo podobné, pak jsou všechny trojúhelníky přímo podobné.^[1]

Příklady

Trojúhelníky připojené k obdélníku

Přímá podobnost

Pokud postavíme obdélník ${ displaystyle ABCD}$ s přímo podobnými trojúhelníky ${ displaystyle PAB, QBC, RCD, SDA}$ na každé straně obdélníku, které jsou podobné ${ displaystyle PQS}$ , pak ${ displaystyle RQS}$ je přímo podobný a sada trojúhelníků ${ displaystyle {PAB, QBC, RCD, SDA, PQS, RQS }}$ je systém podobnosti.^[1]

Nepřímá podobnost

Pokud však uznáme, že trojúhelníky mohou být zdegenerovány a získávat body ${ displaystyle B}$ a ${ displaystyle P}$ ležet na sobě a ${ displaystyle Q, R, D}$ a ${ displaystyle S}$ ležet na sobě, pak sada trojúhelníků již není přímým systémem podobnosti, protože druhý trojúhelník má plochu a ostatní ne.^[1]

Obdélníkový rovnoběžnostěn

Vzhledem k obrázku, kde tři sady čar jsou paralelní, ale nejsou ekvivalentní v délce (formálně známé jako obdélníkový rovnoběžnostěn ) přičemž všechny řádové body dvě jsou označeny takto:

{ displaystyle {A_ {1} B_ {1} C_ {1}, A_ {2} B_ {2} C_ {2}, A_ {3} B_ {3} C_ {3}, A_ {4} B_ { 4} C_ {4}, A_ {1} B_ {4} C_ {3}, A_ {2} B_ {3} C_ {4}, A_ {3} B_ {2} C_ {1}, A_ {4} B_ {1} C_ {2} }}

Pak můžeme vzít výše uvedené body, analyzovat je jako trojúhelníky a můžeme ukázat, že tvoří systém podobnosti.^[1]

Důkaz:

Aby byl daný trojúhelník, ${ displaystyle KLM}$ , být přímo podobný ${ displaystyle A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}}$ měla by být splněna následující rovnice:

{ displaystyle ( ell -m) a_ {1} + (m-k) b_ {1} + (k-1) c_ {1} = 0.}

^[1] kde ℓ, m, k, A₁, b₁, a C₁ jsou strany trojúhelníků.

Je-li stejný vzorec použit pro zbytek trojúhelníků, je možné si všimnout, že součet rovnic pro první čtyři trojúhelníky a součet rovnic pro poslední čtyři trojúhelníky poskytuje stejný výsledek.^[1] Definicí systému podobnosti trojúhelníků tedy bez ohledu na sedm vybraných vybraných trojúhelníků osmá uspokojí systém, takže jsou všechny přímo podobné.^[1]

Galerie

Příklad přímé podobnosti
Mezi trojúhelníky AHC a BHC existují dva incidentové vztahy
Opačný příklad podobnosti
Thébaultova věta
Napoleonova věta
Příklad systému podobnosti
Příklad systému nepodobnosti
Obdélníkový rovnoběžnostěn

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q Mauldon, J.G. (Květen 1966). "Podobné trojúhelníky". Matematický časopis. 39 (3): 165–174. doi:10.1080 / 0025570X.1966.11975709.
^ Weisstein, Eric. "Podobný". Wolfram MathWorld. Citováno 2018-12-12.
^ Gerber, Leon (říjen 1980). „Napoleonova věta a nerovnoměrnost paralelogramu pro afinní pravidelné polygony“. Americký matematický měsíčník. 87 (8): 644–648. doi:10.1080/00029890.1980.11995110. JSTOR 2320952.

[:0-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q Mauldon, J.G. (Květen 1966). "Podobné trojúhelníky". Matematický časopis. 39 (3): 165–174. doi:10.1080 / 0025570X.1966.11975709.

[:2-2] Weisstein, Eric. "Podobný". Wolfram MathWorld. Citováno 2018-12-12.

[:1-3] Gerber, Leon (říjen 1980). „Napoleonova věta a nerovnoměrnost paralelogramu pro afinní pravidelné polygony“. Americký matematický měsíčník. 87 (8): 644–648. doi:10.1080/00029890.1980.11995110. JSTOR 2320952.

[1]

[2]

[3]