Zkratkový model - Shortcut model - Wikipedia

Důležitá otázka v statistická mechanika je závislost chování modelu na dimenzi systému. The zkratkový model^[1][2] byl představen v průběhu studia této závislosti. Model interpoluje mezi diskrétními regulárními mřížkami celočíselné dimenze.

Úvod

Chování různých procesů na diskrétních regulárních mřížkách bylo studováno poměrně rozsáhle. Ukazují bohatou rozmanitost chování, včetně netriviální závislosti na dimenzi pravidelné mřížky.^{[3][4][5][6][7][8][9][10][11]} V posledních letech byla studie rozšířena z pravidelných mřížek na komplexní sítě. Zkratkový model byl použit při studiu několika procesů a jejich závislosti na dimenzi.

Dimenze komplexní sítě

Dimenze je obvykle definována na základě měřítka exponenta nějaké vlastnosti v příslušném limitu. Jedna vlastnost, kterou lze použít ^[2] je měřítko objemu se vzdáleností. Pro běžné mřížky ${ displaystyle textstyle mathbf {Z} ^ {d}}$ počet uzlů ${ displaystyle textstyle j}$ na dálku ${ displaystyle textstyle r (i, j)}$ uzlu ${ displaystyle textstyle i}$ váhy jako ${ displaystyle textstyle r (i, j) ^ {d}}$.

U systémů, které vznikají při fyzických problémech, lze obvykle identifikovat určité vztahy fyzického prostoru mezi vrcholy. Uzly, které jsou propojeny přímo, budou mít na sebe větší vliv než uzly, které jsou odděleny několika odkazy. Dalo by se tedy určit vzdálenost ${ displaystyle textstyle r (i, j)}$ mezi uzly ${ displaystyle textstyle i}$ a ${ displaystyle textstyle j}$ jako délka nejkratší cesty spojující uzly.

U složitých sítí lze definovat hlasitost jako počet uzlů ${ displaystyle textstyle j}$ na dálku ${ displaystyle textstyle r (i, j)}$ uzlu ${ displaystyle textstyle i}$, zprůměrováno ${ displaystyle textstyle i}$a kóta může být definována jako exponent, který určuje měřítko chování svazku se vzdáleností. Pro vektor ${ displaystyle textstyle { vec {n}} = (n_ {1}, tečky, n_ {d}) in mathbf {Z} ^ {d}}$, kde ${ displaystyle textstyle d}$ je kladné celé číslo, euklidovská norma ${ displaystyle textstyle | { vec {n}} |}$ je definována jako euklidovská vzdálenost od počátku do ${ displaystyle textstyle { vec {n}}}$, tj.,

${ displaystyle | { vec {n}} | = { sqrt {n_ {1} ^ {2} + cdots + n_ {d} ^ {2}}}.}$

Definice, která generalizuje složité sítě, je však ${ displaystyle textstyle L ^ {1}}$ norma,

${ displaystyle | { vec {n}} | _ {1} = | n_ {1} | + cdots + | n_ {d} |.}$

Vlastnosti změny měřítka platí pro euklidovskou normu i pro ${ displaystyle textstyle L ^ {1}}$ norma. Změna měřítka je

${ displaystyle V (r) = kr ^ {d},}$

kde d není nutně celé číslo pro složité sítě. ${ displaystyle textstyle k}$ je geometrická konstanta, která závisí na složité síti. Pokud je měřítkový vztah Eqn. drží, pak lze také definovat povrchovou plochu ${ displaystyle textstyle S (r)}$ jako počet uzlů, které jsou přesně ve vzdálenosti ${ displaystyle textstyle r}$ z daného uzlu a ${ displaystyle textstyle S (r)}$ váhy jako

${ displaystyle S (r) = kdr ^ {d-1}.}$

Definice založená na komplexní síťová funkce zeta^[1] zobecní definici na základě vlastnosti měřítka objemu se vzdáleností^[2] a staví to na matematicky robustní základ.

Zkratkový model

Zkratkový model začíná sítí postavenou na jednorozměrné pravidelné mřížce. Jeden pak přidá hrany a vytvoří zkratky, které spojí vzdálené části mřížky k sobě navzájem. Počáteční síť je jednorozměrná mřížka ${ displaystyle textstyle N}$ vrcholy s periodickými okrajovými podmínkami. Každý vrchol je spojen se svými sousedy na obou stranách, což vede k systému s ${ displaystyle textstyle N}$ hrany. Síť se rozšiřuje tím, že se každý uzel střídá as pravděpodobností ${ displaystyle textstyle p}$, přidání okraje do nového umístění ${ displaystyle textstyle m}$ vzdálené uzly.

Proces opětovného zapojení umožňuje modelu interpolovat mezi jednorozměrnou pravidelnou mřížkou a dvourozměrnou pravidelnou mřížkou. Když je pravděpodobnost opětovného zapojení ${ displaystyle textstyle p = 0}$, máme jednorozměrnou pravidelnou mřížku velikosti ${ displaystyle textstyle N}$. Když ${ displaystyle textstyle p = 1}$, každý uzel je připojen k novému umístění a graf je v podstatě dvourozměrná mřížka s ${ displaystyle textstyle m}$ a ${ displaystyle textstyle N / m}$ uzly v každém směru. Pro ${ displaystyle textstyle p}$ mezi ${ displaystyle textstyle 0}$ a ${ displaystyle textstyle 1}$, máme graf, který interpoluje mezi jednorozměrnou a dvourozměrnou regulární mřížkou. Grafy, které studujeme, jsou parametrizovány

${ displaystyle { text {size}} = N, ,}$

${ displaystyle { text {zkratka vzdálenost}} = m, ,}$

${ displaystyle { text {pravděpodobnost opětovného zapojení}} = str. ,}$

Aplikace na rozsáhlost mocenského právního potenciálu

Jednou z aplikací využívajících výše uvedenou definici dimenze byla rozsáhlost systémů statistické mechaniky s potenciálem mocninového zákona, kde se interakce mění se vzdáleností ${ displaystyle textstyle r}$ tak jako ${ displaystyle textstyle 1 / r ^ { alpha}}$. V jedné dimenzi se vlastnosti systému, jako je volná energie, nechovají extenzivně, když ${ displaystyle textstyle 0 leq alpha leq 1}$, tj. rostou rychleji než N as ${ displaystyle textstyle N rightarrow infty}$, kde N je počet otočení v systému.

Zvažte Isingův model s Hamiltonianem (s N otočením)

${ displaystyle H = - { frac {1} {2}} součet _ {i, j} J (r (i, j)) s_ {i} s_ {j}}$

kde ${ displaystyle textstyle s_ {i}}$ jsou proměnné rotace, ${ displaystyle textstyle r (i, j)}$ je vzdálenost mezi uzlem ${ displaystyle textstyle i}$ a uzel ${ displaystyle textstyle j}$, a ${ displaystyle textstyle J (r (i, j))}$ jsou propojení mezi zatočením. Když ${ displaystyle textstyle J (r (i, j))}$ mít chování ${ displaystyle textstyle 1 / r ^ { alpha}}$, máme potenciál mocenského zákona. Pro obecnou komplexní síť je podmínkou exponent ${ displaystyle textstyle alpha}$ byla studována extenzivita hamiltoniánu. Při nulové teplotě je energie na rotaci úměrná

${ displaystyle rho = součet _ {i, j} J (r (i, j)),}$

a proto to vyžaduje rozsáhlost ${ displaystyle textstyle rho}$ být konečný. Pro obecnou komplexní síť ${ displaystyle textstyle rho}$ je úměrná Funkce Riemann zeta ${ displaystyle textstyle zeta ( alpha -d + 1)}$. K tomu, aby byl potenciál rozsáhlý, je tedy zapotřebí

${ displaystyle alpha> d. ,}$

Mezi další studované procesy patří vyhýbání se náhodným procházkám a změna průměrné délky cesty s velikostí sítě. Tyto studie vedou k zajímavému výsledku, kdy dimenze prudce přechází, jak se pravděpodobnost zkratky zvyšuje z nuly.^[12] Ostrý přechod v dimenzi byl vysvětlen kombinatoricky velkým počtem dostupných cest pro body oddělené velkými vzdálenostmi ve srovnání s 1.^[13]

Závěr

Zkratkový model je užitečný pro studium dimenzionální závislosti různých procesů. Studované procesy zahrnují chování potenciálu mocenského zákona jako funkci dimenze, chování vyhýbání se náhodným procházkám a měřítko střední délky dráhy. Může být užitečné porovnat zkratkový model s síť malého světa, protože definice mají hodně podobnosti. V síti malého světa také začíná pravidelnou mřížkou a přidává zkratky s pravděpodobností ${ displaystyle textstyle p}$. Zkratky však nejsou omezeny na připojení k uzlu v pevné vzdálenosti dopředu. Místo toho se druhý konec zástupce může připojit k libovolnému náhodně vybranému uzlu. Výsledkem je, že model malého světa má sklon ke zvyšování pravděpodobnosti zkratky spíše k náhodnému grafu než k dvojrozměrnému.

Reference