Metoda fotografování - Shooting method - Wikipedia

v numerická analýza, způsob fotografování je metoda řešení a problém mezní hodnoty snížením na systém problém počáteční hodnoty. Zhruba řečeno, ‚vystřelíme 'trajektorie v různých směrech, dokud nenajdeme trajektorii, která má požadovanou hraniční hodnotu. Následující výklad může být objasněn ilustrace způsobu fotografování.

Pro problém okrajové hodnoty druhého řádu obyčejná diferenciální rovnice, metoda je uvedena následovně

${ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), quad y (t_ {0}) = y_ {0}, quad y (t_ {1}) = y_ {1}}$

být problémem hraniční hodnoty y(t; A) označují řešení problému počáteční hodnoty

${ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), quad y (t_ {0}) = y_ {0}, quad y' (t_ {0} ) = a}$

Definujte funkci F(A) jako rozdíl mezi y(t₁; A) a zadaná mezní hodnota y₁.

${ displaystyle F (a) = y (t_ {1}; a) -y_ {1} ,}$

Li F má vykořenit A pak řešení y(t; A) příslušného problému počáteční hodnoty je také řešením problému mezní hodnoty. Naopak, pokud problém okrajové hodnoty má řešení y(t), pak y(t) je také jedinečné řešení y(t; A) problému počáteční hodnoty, kde a = y'(t₀), tím pádem A je kořenem F.

Mohou zde být použity obvyklé způsoby hledání kořenů, například metoda půlení nebo Newtonova metoda.

Původ pojmu

Pojem „střelecká metoda“ má původ v dělostřelectvu. Když střílíte z děla směrem k cíli, je vystřelen první výstřel v obecném směru cíle. Pokud dělová koule zasáhne příliš doprava, je při druhém výstřelu kanón namířen trochu doleva a naopak. Tímto způsobem budou dělové koule zasahovat stále blíže k cíli.

Metoda lineárního snímání

Problém mezní hodnoty je lineární, pokud F má formu

${ Displaystyle f (t, y (t), y '(t)) = p (t) y' (t) + q (t) y (t) + r (t). ,}$

V tomto případě je řešení problému mezní hodnoty obvykle dáno:

${ displaystyle y (t) = y _ {(1)} (t) + { frac {y_ {1} -y _ {(1)} (t_ {1})} {y _ {(2)} (t_ { 1})}} y _ {(2)} (t)}$

kde ${ displaystyle y _ {(1)} (t)}$ je řešením problému počáteční hodnoty:

${ displaystyle y _ {(1)} '' (t) = p (t) y _ {(1)} '(t) + q (t) y _ {(1)} (t) + r (t), quad y _ {(1)} (t_ {0}) = y_ {0}, quad y _ {(1)} '(t_ {0}) = 0,}$

a ${ displaystyle y _ {(2)} (t)}$ je řešením problému počáteční hodnoty:

${ displaystyle y _ {(2)} '' (t) = p (t) y _ {(2)} '(t) + q (t) y _ {(2)} (t), quad y _ {(2 )} (t_ {0}) = 0, quad y _ {(2)} '(t_ {0}) = 1.}$

Vidět důkaz pro přesnou podmínku, za které tento výsledek platí.

Příklad

A problém mezní hodnoty uvádí Stoer a Bulirsch následovně^[1] (Oddíl 7.3.1).

${ displaystyle w '' (t) = { frac {3} {2}} w ^ {2}, quad w (0) = 4, quad w (1) = 1}$

The problém počáteční hodnoty

${ displaystyle w '' (t) = { frac {3} {2}} w ^ {2}, quad w (0) = 4, quad w '(0) = s}$

byl vyřešen pro s = −1, −2, −3, ..., −100 a F(s) = w(1;s) - 1 vyneseno na prvním obrázku. Prohlídka grafu F, vidíme, že existují kořeny blízko −8 a −36. Některé trajektorie w(t;s) jsou zobrazeny na druhém obrázku.

Stoer a Bulirsch^[1] uveďte, že existují dvě řešení, která lze najít algebraickými metodami, která odpovídají počátečním podmínkám w′ (0) = −8 a w′ (0) = -35,9 (přibližně).

Funkce F(s) = w(1;s) − 1.

Trajektorie w(t;s) pro s = w'(0) se rovná −7, −8, −10, −36 a −40. Bod (1,1) je označen kružnicí.

Viz také

• Metoda přímého vícenásobného snímání
• Výpočet útlumu rádiových vln v atmosféře

Poznámky

Reference

• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Oddíl 18.1. Metoda střelby“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-88068-8.

externí odkazy

• Stručný popis ODEPACK (na Netlib; obsahuje LSODE)
• Metoda fotografování řešení okrajových úloh - Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica na Holistický institut numerických metod [1]