Série multisection - Series multisection

V matematice, a multisection výkonové řady je nový výkonová řada složený ze stejně rozmístěných termínů extrahovaných nezměněných z původní série. Formálně, pokud je dána výkonová řada

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} cdot z ^ {n}}

pak je jeho multisekce výkonovou řadou formy

{ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} a_ {qm + p} cdot z ^ {qm + p}}

kde str, q jsou celá čísla s 0 ≤ str < q.

Multisekce analytických funkcí

Multisection ze série analytická funkce

{ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} cdot z ^ {n}}

má uzavřený výraz z hlediska funkce ${ displaystyle f (x)}$ :

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} a_ {qm + p} cdot z ^ {qm + p} = { frac {1} {q}} cdot sum _ {k = 0} ^ {q-1} omega ^ {- kp} cdot f ( omega ^ {k} cdot z),}

kde ${ displaystyle omega = e ^ { frac {2 pi i} {q}}}$ je primitivní q-tý kořen jednoty. Toto řešení bylo poprvé objeveno uživatelem Thomas Simpson.^[1] Tento výraz je obzvláště užitečný v tom, že může převést nekonečný součet na konečný součet. Používá se například v klíčovém kroku standardního dokladu o Gaussova věta o digammě, což dává řešení v uzavřené formě funkci digamma vyhodnocené při racionálních hodnotách str/q.

Příklady

Bisection

Obecně platí, že půlené řady jsou sudý a lichý části série.

Geometrická řada

Zvažte geometrické řady

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} = { frac {1} {1-z}} quad { text {pro}} | z | <1.}

Nastavením ${ displaystyle z rightarrow z ^ {q}}$ ve výše uvedené sérii lze snadno vidět její multisekce

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} z ^ {qm + p} = { frac {z ^ {p}} {1-z ^ {q}}} quad { text { pro}} | z | <1.}

Pamatujeme si, že součet více sekcí se musí rovnat původní sérii, a tak obnovíme známou identitu

{ displaystyle sum _ {p = 0} ^ {q-1} z ^ {p} = { frac {1-z ^ {q}} {1-z}}.}

Exponenciální funkce

{ displaystyle e ^ {z} = součet _ {n = 0} ^ { infty} {z ^ {n} nad n!}}

pomocí výše uvedeného vzorce pro analytické funkce se dělí na

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {qm + p} over (qm + p)!} = { frac {1} {q}} cdot sum _ { k = 0} ^ {q-1} omega ^ {- kp} e ^ { omega ^ {k} z}.}

Bisekce jsou triviálně hyperbolické funkce:

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {2m} nad (2m)!} = { frac {1} {2}} vlevo (e ^ {z} + e ^ {- z} vpravo) = cosh {z}}

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {2m + 1} nad (2m + 1)!} = { frac {1} {2}} vlevo (e ^ { z} -e ^ {- z} vpravo) = sinh {z}.}

Multisekce vyššího řádu se nalézají konstatováním, že všechny takové řady musí být oceněny podle skutečné linie. Tím, že vezmeme skutečnou část a použijeme standardní trigonometrické identity, lze vzorce psát ve výslovně reálné podobě jako

{ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} {z ^ {qm + p} over (qm + p)!} = { frac {1} {q}} cdot sum _ { k = 0} ^ {q-1} e ^ {z cos (2 pi k / q)} cos { left (z sin { left ({ frac {2 pi k} {q}) } right)} - ​​{ frac {2 pi kp} {q}} right)}.}

Lze je považovat za řešení lineární diferenciální rovnice ${ displaystyle f ^ {(q)} (z) = f (z)}$ s okrajové podmínky ${ displaystyle f ^ {(k)} (0) = delta _ {k, p}}$ , použitím Kroneckerova delta notace. Zejména trisekce jsou