Schursova nerovnost - Schurs inequality - Wikipedia

v matematika, Schur nerovnost, pojmenoval podle Issai Schur, stanoví, že pro všechny nezáporné reálná číslaX, y, z a t,

${ displaystyle x ^ {t} (x-y) (x-z) + y ^ {t} (y-z) (y-x) + z ^ {t} (z-x) (z-y) geq 0}$

s rovností právě tehdy x = y = z nebo dva z nich jsou si rovni a druhý je nula. Když t je dokonce pozitivní celé číslo, nerovnost platí pro všechna reálná čísla X, y a z.

Když ${ displaystyle t = 1}$, lze odvodit následující známý speciální případ:

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3xyz geq xy (x + y) + xz (x + z) + yz (y + z)}$

Důkaz

Protože nerovnost je symetrická ${ displaystyle x, y, z}$ můžeme to předpokládat bez ztráty obecnosti ${ displaystyle x geq y geq z}$. Pak nerovnost

${ displaystyle (x-y) [x ^ {t} (x-z) -y ^ {t} (y-z)] + z ^ {t} (x-z) (y-z) geq 0}$

jasně platí, protože každý člen na levé straně nerovnosti je nezáporný. To přeskupuje Schurovu nerovnost.

Rozšíření

A zobecnění Schurovy nerovnosti je následující: Předpokládejme a, b, c jsou kladná reálná čísla. Pokud se ztrojnásobí (a, b, c) a (x, y, z) jsou podobně tříděny, pak platí následující nerovnost:

${ displaystyle a (x-y) (x-z) + b (y-z) (y-x) + c (z-x) (z-y) geq 0.}$

V roce 2007 rumunština matematik Valentin Vornicu ukázal, že platí ještě další zobecněná forma Schurovy nerovnosti:

Zvážit ${ displaystyle a, b, c, x, y, z v mathbb {R}}$, kde ${ displaystyle a geq b geq c}$, a buď ${ displaystyle x geq y geq z}$ nebo ${ displaystyle z geq y geq x}$. Nechat ${ displaystyle k in mathbb {Z} ^ {+}}$a nechte ${ displaystyle f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ buď konvexní nebo monotóní. Pak,

${ displaystyle {f (x) (ab) ^ {k} (ac) ^ {k} + f (y) (ba) ^ {k} (bc) ^ {k} + f (z) (ca) ^ {k} (cb) ^ {k} geq 0}.}$

Standardní forma Schurova je případem této nerovnosti kde X = A, y = b, z = C, k = 1, ƒ(m) = m^r.^[1]

Další možné rozšíření uvádí, že pokud jsou nezáporná reálná čísla ${ displaystyle x geq y geq z geq v}$ a kladné reálné číslo t jsou takové, že X + proti ≥ y + z pak^[2]

${ displaystyle x ^ {t} (xy) (xz) (xv) + y ^ {t} (yx) (yz) (yv) + z ^ {t} (zx) (zy) (zv) + v ^ {t} (vx) (vy) (vz) geq 0.}$

Poznámky