Měřítko (popisná teorie množin) - Scale (descriptive set theory) - Wikipedia

V matematické disciplíně deskriptivní teorie množin, a měřítko je určitý druh objektu definovaného na a soubor z bodů v některých Polský prostor (například měřítko může být definováno na množině reálná čísla ). Váhy byly původně izolovány jako koncept v teorii uniformizace,^[1] ale našli širokou použitelnost v deskriptivní teorii množin s aplikacemi, jako je stanovení hranic možných délek wellorderings dané složitosti a ukazuje (za určitých předpokladů), že existují největší spočítatelné sady určitých složitostí.

Formální definice

Vzhledem k tomu, sada bodů A obsažené v nějakém prostoru produktu

${ displaystyle A subseteq X = X_ {0} krát X_ {1} krát ldots X_ {m-1}}$

kde každý X_k je buď Baireův prostor nebo spočítatelně nekonečná diskrétní množina, říkáme, že a norma na A je mapa z A do řadové číslovky. Každá norma má přidružené prewellordering, kde jeden prvek A předchází dalšímu prvku, pokud je norma prvního menší než norma druhého.

A měřítko na A je nespočetně nekonečná sbírka norem

${ displaystyle ( phi _ {n}) _ {n < omega}}$

s následujícími vlastnostmi:

Pokud sekvence X_i je takový

X_i je prvek A pro každé přirozené číslo i, a

X_i konverguje k prvku X v produktovém prostoru X, a

pro každé přirozené číslo n existuje ordinální λ_n takové, že φ_n(X_i) = λ_n pro všechny dostatečně velké i, pak

X je prvek A, a

pro každého n, φ_n(x) ≤λ_n.^[2]

Sám o sobě přinejmenším poskytl axiom volby, existence stupnice na bodové sadě je triviální, jako A lze svařovat a každý φ_n lze jednoduše vyjmenovat A. Aby byl koncept užitečný, musí být normám uloženo kritérium definovatelnosti (jednotlivě i společně). Zde je „definovatelnost“ chápána v obvyklém smyslu popisné teorie množin; nemusí to být definovatelnost v absolutním smyslu, ale spíše to naznačuje členství v některých bodová třída sad realit. Normy φ_n samy o sobě nejsou množinami skutečností, ale odpovídajícími prewellorderings jsou (alespoň v podstatě).

Myšlenka je, že pro danou třídu bodů Γ chceme prewellorderings pod daným bodem A být jednotně reprezentován jak jako množina v Γ, tak jako jedna v dvojité třídě bodů Γ, vzhledem k tomu, že „větší“ bod je prvkem A. Formálně říkáme, že φ_n tvoří a Γ měřítko zapnuto A pokud tvoří stupnici A a existují ternární vztahy S a T takové, pokud y je prvek A, pak

${ displaystyle forall n forall x ( varphi _ {n} (x) leq varphi _ {n} (y) iff S (n, x, y) iff T (n, x, y) )}$

kde S je v Γ a T je v dvojí bodové třídě Γ (tj. doplněk T je v Γ).^[3] Všimněte si zde, že myslíme na φ_n(X) jako ∞ kdykoli X∉A; tedy podmínka φ_n(X) ≤φ_n(y), pro y∈A, také naznačuje X∈A.

Definice ano ne znamenat, že soubor norem je v průsečíku Γ s dvojitou třídou of. Je tomu tak proto, že je podmíněna třícestná rovnocennost y být prvkem A. Pro y ne v A, může se stát, že jeden nebo oba S (n, x, y) nebo T (n, x, y) neudrží, i když X je v A (a tedy automaticky φ_n(X) ≤φ_n(y)=∞).

Aplikace

Tato část ještě nebude sepsána

Vlastnost měřítka

Vlastnost měřítka je posílením předprodejní vlastnictví. Pro bodové třídy určité formy to znamená vztahy v dané bodové třídě mají a uniformizace to je také v pointclass.

Periodicita

Tato část ještě nebude sepsána

Poznámky

Reference

• Moschovakis, Yiannis N. (1980), Popisná teorie množin, Severní Holandsko, ISBN  0-444-70199-0
• Kechris, Alexander S .; Moschovakis, Yiannis N. (2008), „Notes on the theory of scales“, in Kechris, Alexander S .; Benedikt Löwe; Steel, John R. (eds.), Games, Scales and Suslin Cardinals: The Cabal Seminar, Volume I, Cambridge University Press, s. 28–74, ISBN  978-0-521-89951-2