Rozklad skalárního vektoru a tenzoru - Scalar-vector-tensor decomposition

v teorie kosmologické perturbace, rozklad skalárního vektoru a tenzoru je rozklad nejobecnější linearizované poruchy z Friedmann – Lemaître – Robertson – Walkerova metrika na komponenty podle jejich transformací při prostorových rotacích. Poprvé to objevil E. M. Lifshitz v roce 1946. Vyplývá to z Helmholtzovy věty (viz Helmholtzův rozklad.) Obecná metrická porucha má deset stupňů volnosti. Dekompozice uvádí, že evoluční rovnice pro nejobecnější linearizované odchylky Friedmann – Lemaître – Robertson – Walkerova metrika lze rozložit na čtyři skaláry, dva bez rozdílu prostorový vektorová pole (tj. s prostorový index běžící od 1 do 3) a a bez stopy, symetrický prostorový tenzorové pole s mizejícími dvojnásobně a jednotlivě podélnými složkami. Pole vektoru a tenzoru mají každé dvě nezávislé složky, takže tento rozklad kóduje všech deset stupňů volnosti v obecné metrické odchylce. Pomocí invariance měřidel mohou být čtyři z těchto složek (dva skaláry a vektorové pole) nastaveny na nulu.

Pokud je narušená metrika ${ displaystyle g '_ { mu nu} = g _ { mu nu} + h _ { mu nu}}$ kde ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ je porucha, pak je rozklad následující,

${ displaystyle h_ {00} = - 2 psi}$

${ displaystyle h_ {0i} = w_ {i}}$

${ displaystyle h_ {ij} = 2 ( phi g_ {ij} + S_ {ij})}$

kde latinské indexy i a j přejet prostorové komponenty (1, ..., 3). Tenzorové pole ${ displaystyle S_ {ij}}$ je pod prostorovou částí metriky pozadí trasovací ${ displaystyle g_ {ij}}$ (tj. ${ displaystyle g ^ {ij} S_ {ij} = 0}$). Prostorový vektor ${ displaystyle w_ {i}}$ a tenzor ${ displaystyle S_ {ij}}$ podstoupit další rozklad. Vektor je zapsán

${ displaystyle w_ {i} = w ^ {||} {} _ {i} + w ^ { perp} {} _ {i},}$

kde ${ displaystyle nabla times mathbf {w} ^ {||} = mathbf {0}}$ a ${ displaystyle nabla cdot mathbf {w} ^ { perp} = 0}$ (${ displaystyle nabla _ {i}}$ je kovarianční derivace definované s ohledem na prostorovou metriku ${ displaystyle g_ {ij}}$). Zápis se používá, protože v Fourierův prostor, tyto rovnice naznačují, že vektor ukazuje rovnoběžně a kolmo ke směru vlnového vektoru. Paralelní složku lze vyjádřit jako gradient skalárního, ${ displaystyle w ^ {||} {} _ {i} = nabla _ {i} A}$. Tím pádem ${ displaystyle mathbf {w}}$ lze psát jako kombinace skalárního a divergenčního dvousložkového vektoru.

Nakonec lze provést analogický rozklad na bezstopovém tenzorovém poli ${ displaystyle S_ {ij}}$.^[1] Dá se to psát

${ displaystyle S_ {ij} = S ^ {||} {} _ {ij} + S_ {ij} ^ { perp} + S ^ {T} {} _ {ij},}$

kde

${ displaystyle S ^ {||} {} _ {ij} = ( nabla _ {i} nabla _ {j} - { frac {1} {3}} g_ {ij} nabla ^ {2} ) B}$,

kde ${ displaystyle B}$ je skalární (kombinace derivátů je dána podmínkou, že ${ displaystyle S}$ být bez stopy) a

${ displaystyle S ^ { perp} {} _ {ij} = nabla _ {i} S ^ { perp} {} _ {j} + nabla _ {j} S ^ { perp} {} _ {i}}$,

kde ${ displaystyle S ^ { perp} {} _ {i}}$ je prostorový vektor bez divergencí. Toto ponechává pouze dvě nezávislé složky ${ displaystyle S ^ {T} {} _ {ij}}$, což odpovídá těmto dvěma polarizace z gravitační vlny. (Protože graviton je nehmotný, obě polarizace jsou kolmé ke směru šíření, stejně jako foton.)

Výhodou této formulace je, že jsou odděleny skalární, vektorové a tenzorové evoluční rovnice. v teorie reprezentace, to odpovídá rozkladu poruch v rámci skupiny prostorové rotace. Dvě skalární složky a jedna vektorová složka mohou být dále eliminovány pomocí transformace měřidla. Složky vektoru jsou však obecně ignorovány, protože existuje několik známých fyzikálních procesů, ve kterých je lze generovat. Jak je uvedeno výše, tenzorové složky odpovídají gravitačním vlnám. Tenzor ${ displaystyle S ^ {T} {} _ {ij}}$ je invariant měřidla: nemění se při nekonečně malých transformacích souřadnic.

Viz také

• Helmholtzův rozklad

Poznámky

Reference

• E. Bertschinger (2001). "Teorie kosmologické perturbace a formování struktury". arXiv:astro-ph / 0101009. Bibcode:2001astro.ph..1009B. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
• E. M. Lifshitz (1946). „O gravitační stabilitě rozpínajícího se vesmíru“. J. Phys. SSSR. 10: 116.
• E. Poisson, C. M. Will (2014). Gravitace: newtonská, post-newtonská, relativistická. Cambridge University Press. str. 257.