Rieszova přeskupení nerovnost - Riesz rearrangement inequality

v matematika, Rieszova přeskupení nerovnost (někdy nazývané Riesz-Sobolev nerovnost) uvádí, že pro jakékoli tři nezáporné funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$, ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ a ${ displaystyle h: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ uspokojuje nerovnost

${ displaystyle iint _ { mathbb {R} ^ {n} krát mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (xy) h (y) , dx , dy leq iint _ { mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}} f ^ {*} (x) g ^ {*} (xy) h ^ {*} (y) , dx , dy,}$

kde ${ displaystyle f ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$, ${ displaystyle g ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ a ${ displaystyle h ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ jsou symetrické zmenšující se přesmyky funkcí ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle h}$ resp.

Dějiny

Nerovnost byla poprvé prokázána Frigyes Riesz v roce 1930,^[1] a nezávisle pokárán S.L.Sobolevem v roce 1938. Lze jej zobecnit na libovolně (ale konečně) mnoho funkcí působících na libovolně mnoho proměnných.^[2]

Aplikace

Rieszovu přeskupovací nerovnost lze použít k prokázání Nerovnost Pólya – Szegő.

Důkazy

Jednorozměrný případ

V jednorozměrném případě je nerovnost nejprve prokázána, když funkce ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle h}$ jsou charakteristické funkce konečných svazků intervalů. Potom lze nerovnost rozšířit na charakteristické funkce měřitelných množin, na měřitelné funkce, které mají konečný počet hodnot, a nakonec na nezáporné měřitelné funkce.^[3]

Vyšší rozměr

Aby bylo možné přejít z jednorozměrného případu do případu vyšší dimenze, sférické přeskupení je aproximováno Steinerovou symetrizací, pro kterou platí jednorozměrný argument přímo Fubiniho teorémem.^[4]

Případy rovnosti

V případě, že kterákoli ze tří funkcí je funkcí striktně snižující symetrii, platí rovnost pouze v případě, že jsou další dvě funkce stejné, až do překladu, jejich symetricky zmenšujícím přeskupením.^[5]

Reference