Proces větvení závislý na zdroji - Resource-dependent branching process

A větvící proces (BP) (viz např. Jagers (1975)) je matematický model k popisu vývoje populace. Populace je zde míněna v obecném smyslu, včetně lidské populace, zvířecích populací, bakterií a dalších, které se množí v biologickém smyslu, kaskádového procesu nebo částic, které se štěpí ve fyzickém smyslu, a dalších. Členové populace BP se nazývají jednotlivci nebo částice.

Jsou-li doby reprodukce diskrétní (obvykle označeny 1,2,…), pak souhrn jednotlivců přítomných v čase n a žít čas n+1 vyloučené jsou považovány za formující nth generace. Jednoduché BP jsou definovány počátečním stavem (počet jednotlivců v čase 0) a zákonem reprodukce, obvykle označovaným pk, k = 1,2,....

A proces větvení závislý na zdrojích (RDBP) je BP v diskrétním čase, který modeluje vývoj populace, ve které mají jednotlivci pracovat, aby mohli žít a reprodukovat se. Populace rozhoduje o formě společnosti, která určuje pravidla, jak jsou dostupné zdroje rozděleny mezi jednotlivce. Za tímto účelem by měl RDBP obsahovat alespoň čtyři další komponenty modelu, a to individuální požadavky na zdroje, vytváření nových zdrojů pro příští generaci, představu politiky distribuce zdrojů a možnost kontroly pro jednotlivce pro interakce s společnost.

Definice

Proces rozvětvení (v diskrétním čase) závislý na zdroji je stochastický proces Γ definováno na nezáporných celých číslech, což je BP definovaný

  • počáteční stav Γ0;
  • zákon o reprodukci jednotlivců;
  • zákon individuální tvorby zdrojů;
  • zákon individuálních požadavků na zdroje (nároky);
  • zásada distribuce dostupných zdrojů jednotlivcům přítomným v populaci
  • nástroj interakce mezi jednotlivci a společností.

Historie a cíle RDBP

Na RDBP lze pohlížet (v širším smyslu) jako na takzvané řízené řízené větvící procesy. Byli představeni F. Thomas Bruss (1983)) s cílem modelovat různé struktury společnosti a porovnat výhody a nevýhody různých forem lidských společností. V těchto procesech mají jednotlivci prostředky interakce se společností, která určuje pravidla, jak by se mezi ně měly rozdělit současné dostupné zdroje. Tato interakce (jako např. Ve formě emigrace) mění efektivní míru reprodukce jedinců, kteří zůstávají ve společnosti. V tomto ohledu mají RDBP některé části společné s tzv závislé na velikosti populace BP (viz Klebaner (1984) a Klebaner & Jagers (2000)), ve kterých je zákon individuální nezávislé reprodukce (viz Galton-Watsonův proces ) je funkcí aktuální velikosti populace.

Tažitelné RDBP

Realistické modely pro lidské společnosti požadují bisexuální způsob reprodukce, zatímco v definici RDBP se jednoduše mluví o zákoně reprodukce. Nicméně pojem průměrná míra reprodukce na jednotlivce (Bruss 1984) pro bisexuální procesy ukazuje, že u všech relevantních otázek pro dlouhodobé chování lidských společností je oprávněné pro jednoduchost předpokládat nepohlavní reprodukci. Proto některé omezující výsledky Klebanera (1984) a Jagersa Klebanera (2000) přenášejí na RDBP. Modely pro rozvoj lidské společnosti v čase musí umožňovat vzájemnou závislost mezi různými složkami. Takové modely jsou obecně velmi komplikované a hrozí, že se stanou neřešitelnými. To vedlo k myšlence nepokoušet se modelovat vývoj společnosti pomocí (jediného) realistického RDBP, ale spíše sledem kontrolních akcí definujících sled relevantních krátkodobých RDBP.

Jako pokyny pro rozvoj EU vystupují dvě zvláštní politiky žádný společnost. Tyto dvě politiky jsou tzv politika nejslabší první (wf-policy) a tzv politika nejsilnější první (politika sf).

Definice

The wf-politika je pravidlem sloužit v každé generaci, pokud to akumulovaný prostor zdrojů umožňuje, s prioritou vždy jednotlivci s nejmenšími individuálními nároky. The sf-politika je pravidlo, které má v každé generaci sloužit vždy s prioritou největších individuálních nároků na prostředky, opět za předpokladu, že kumulovaný prostor zdroje postačuje. Společnosti přísně upravující tyto politiky se nazývají wf-společnost, respektive sf-společnost.

Kritéria přežití

V teorii BP je zajímavé vědět, zda je přežití procesu z dlouhodobého hlediska možné. U RDBP tato otázka také silně závisí na prvku, na který mají jednotlivci velký vliv, konkrétně na zásadě distribuce zdrojů.

Nechat:

m = průměrná reprodukce (potomci) na jednotlivce
r = průměrná produkce (tvorba zdrojů) na jednotlivce
F = individuální rozdělení pravděpodobnosti pohledávek (zdrojů)

Dále předpokládejme, že všichni jedinci, kteří nezískají nárok na prostředky, buď zemřou, nebo emigrují před reprodukcí. Poté pomocí výsledků očekávaných časů zastavení pro součty statistik objednávek (1991) lze kritéria přežití výslovně vypočítat jak pro wf-společnost, tak pro sf-společnost jako funkci m, r a F.

Pravděpodobně nejsilnějším výsledkem známým pro RDBP je věta o obálce společností (Bruss a Duerinckx 2015). Říká se, že z dlouhodobého hlediska žádný společnost, která by chtěla přežít a ve které jednotlivci obecně upřednostňují vyšší životní úroveň před nižší, je povinna žít dlouhodobě mezi společností wf a společností sf. Intuice, proč by to mělo být pravdivé, je špatná. Matematický důkaz závisí na zmíněných výsledcích na očekávaných dobách zastavení pro součty statistik objednávek (1991) a na vyladěných vyvažovacích aktech mezi předpoklady modelu a různými pojmy Konvergence náhodných proměnných.

Viz také

Reference

  • Jagers, Peter (1975). Větvící se procesy s biologickými aplikacemi. London: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons].
  • Bruss, F. Thomas (1983). "Procesy větvení závislé na zdroji". Stochastické procesy a jejich aplikace. 16: 36.
  • Bruss, F. Thomas (1984). „Poznámka o kritériích zániku pro bisexuální Galton – Watsonovy procesy“. Journal of Applied Probability. 21: 915–919. doi:10.2307/3213707.
  • Klebaner, Fima C. (1984). Msgstr "Procesy větvení závislé na velikosti populace". Pokroky v aplikované pravděpodobnosti. 16: 30–55. doi:10.2307/1427223.