Vztahy mezi tepelnými kapacitami - Relations between heat capacities

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Vztahy mezi tepelnými kapacitami"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v termodynamika, tepelná kapacita při stálém objemu, ${ displaystyle C_ {V}}$a tepelná kapacita při konstantním tlaku, ${ displaystyle C_ {P}}$, jsou rozsáhlé vlastnosti které mají velikost energie dělenou teplotou.

Vztahy

The zákony termodynamiky implikují následující vztahy mezi těmito dvěma tepelnými kapacitami (Gaskell 2003: 23):

${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} = VT { frac { alpha ^ {2}} { beta _ {T}}} ,}$

${ displaystyle { frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = { frac { beta _ {T}} { beta _ {S}}} ,}$

Tady ${ displaystyle alpha}$ je koeficient tepelné roztažnosti:

${ displaystyle alpha = { frac {1} {V}} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {P} ,}$

${ displaystyle beta _ {T}}$ je izotermický stlačitelnost (inverzní k objemový modul ):

${ displaystyle beta _ {T} = - { frac {1} {V}} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné P}} vpravo) _ {T} ,}$

a ${ displaystyle beta _ {S}}$ je isentropic stlačitelnost:

${ displaystyle beta _ {S} = - { frac {1} {V}} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné P}} vpravo) _ {S} ,}$

Odpovídající výraz pro rozdíl v měrné tepelné kapacity (intenzivní vlastnosti ) při stálém objemu a stálém tlaku je:

${ displaystyle c_ {p} -c_ {v} = { frac {T alpha ^ {2}} { rho beta _ {T}}}}$

kde ρ je hustota látky za příslušných podmínek.

Odpovídající výraz pro poměr měrných tepelných kapacit zůstává stejná, protože termodynamický systém veličiny závislé na velikosti, ať už na základě hmotnosti nebo molů, se v tomto poměru zruší, protože specifické tepelné kapacity jsou intenzivními vlastnostmi. Tím pádem:

${ displaystyle { frac {c_ {p}} {c_ {v}}} = { frac { beta _ {T}} { beta _ {S}}} ,}$

Rozdílový vztah umožňuje získat tepelnou kapacitu pro pevné látky při konstantním objemu, který není snadno měřitelný, pokud jde o množství, které se snáze měří. Poměrový vztah umožňuje vyjádřit izentropickou stlačitelnost z hlediska poměru tepelné kapacity.

Derivace

Pokud je to nepatrně malé množství tepla ${ displaystyle delta Q}$ je dodáván do systému v reverzibilní způsobem pak podle druhý zákon termodynamiky, změna entropie systému je dána vztahem:

${ displaystyle dS = { frac { delta Q} {T}} ,}$

Od té doby

${ displaystyle delta Q = CdT ,}$

kde C je tepelná kapacita, vyplývá z toho, že:

${ displaystyle TdS = CdT ,}$

Tepelná kapacita závisí na tom, jak se mění vnější proměnné systému, když je dodáváno teplo. Pokud je jedinou externí proměnnou systému svazek, můžeme napsat:

${ displaystyle dS = left ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {V} dT + levé ({ frac { částečné S} { částečné V}} vpravo) _ {T} dV}$

Z toho vyplývá:

${ displaystyle C_ {V} = T vlevo ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {V} ,}$

Vyjádření dS z hlediska dT a dP podobně jako výše vede k výrazu:

${ displaystyle C_ {P} = T vlevo ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {P} ,}$

Lze najít výše uvedený výraz pro ${ displaystyle C_ {P} -C_ {V}}$ vyjádřením dV ve smyslu dP a dT ve výše uvedeném výrazu pro dS.

${ displaystyle dV = left ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {P} dT + levé ({ frac { částečné V} { částečné P}} vpravo) _ {T} dP ,}$

výsledky v

${ displaystyle dS = left [ left ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {V} + left ({ frac { částečné S} { částečné V}} vpravo) _ {T} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {P} pravé] dT + levé ({ frac { částečné S} { částečné V }} vpravo) _ {T} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné P}} vpravo) _ {T} dP}$

a následuje:

${ displaystyle left ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {P} = levé ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ { V} + vlevo ({ frac { částečné S} { částečné V}} pravé) _ {T} levé ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {P } ,}$

Proto,

${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} = T vlevo ({ frac { částečné S} { částečné V}} pravé) _ {T} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {P} = VT alfa levé ({ frac { částečné S} { částečné V}} pravé) _ {T} ,}$

Částečná derivace ${ displaystyle left ({ frac { částečné S} { částečné V}} pravé) _ {T}}$ lze přepsat pomocí proměnných, které nezahrnují entropii, pomocí vhodného Maxwellův vztah. Tyto vztahy vyplývají z základní termodynamický vztah:

${ displaystyle dE = TdS-PdV ,}$

Z toho vyplývá, že rozdíl Helmholtzovy volné energie ${ displaystyle F = E-TS}$ je:

${ displaystyle dF = -SdT-PdV ,}$

Tohle znamená tamto

${ displaystyle -S = vlevo ({ frac { částečné F} { částečné T}} pravé) _ {V} ,}$

a

${ displaystyle -P = left ({ frac { částečné F} { částečné V}} vpravo) _ {T} ,}$

The symetrie druhých derivací F vzhledem k T a V pak znamená

${ displaystyle left ({ frac { částečné S} { částečné V}} pravé) _ {T} = levé ({ frac { částečné P} { částečné T}} pravé) _ { PROTI},}$

umožňující psát:

${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} = VT alfa vlevo ({ frac { částečné P} { částečné T}} pravé) _ {V} ,}$

R.h.s. obsahuje derivát při konstantním objemu, který může být obtížné měřit. Lze jej přepsat následovně. Obecně,

${ displaystyle dV = left ({ frac { částečné V} { částečné P}} pravé) _ {T} dP + levé ({ frac { částečné V} { částečné T}} vpravo) _ {P} dT ,}$

Protože parciální derivace ${ displaystyle left ({ frac { částečné P} { částečné T}} pravé) _ {V}}$ je pouze poměr dP a dT pro dV = 0, lze jej získat vložením dV = 0 do výše uvedené rovnice a řešením pro tento poměr:

${ displaystyle left ({ frac { částečné P} { částečné T}} pravé) _ {V} = - { frac { vlevo ({ frac { částečné V} { částečné T}} right) _ {P}} { left ({ frac { částečné V} { částečné P}} right) _ {T}}} = { frac { alpha} { beta _ {T} }} ,}$

který dává výraz:

${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} = VT { frac { alpha ^ {2}} { beta _ {T}}} ,}$

Výraz pro poměr tepelných kapacit lze získat následovně:

${ displaystyle { frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = { frac { vlevo ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {P}} { vlevo ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {V}}} ,}$

Parciální derivaci v čitateli lze vyjádřit jako poměr parciálních derivací tlaku w.r.t. teplota a entropie. Pokud ve vztahu

${ displaystyle dP = left ({ frac { částečné P} { částečné S}} pravé) _ {T} dS + levé ({ frac { částečné P} { částečné T}} pravé) _ {S} dT ,}$

vložili jsme ${ displaystyle dP = 0}$ a řešit poměr ${ displaystyle { frac {dS} {dT}}}$ získáváme ${ displaystyle left ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {P}}$. Tímto způsobem získáte:

${ displaystyle left ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {P} = - { frac { vlevo ({ frac { částečné P} { částečné T}} right) _ {S}} { left ({ frac { částečné P} { částečné S}} right) _ {T}}} ,}$

Podobně lze přepsat částečnou derivaci ${ displaystyle left ({ frac { částečné S} { částečné T}} pravé) _ {V}}$ vyjádřením dV, pokud jde o dS a dT, uvedení dV na nulu a řešení tohoto poměru ${ displaystyle { frac {dS} {dT}}}$. Když jeden dosadíme tento výraz do poměru tepelné kapacity vyjádřeného jako poměr částečných derivací entropie výše, následuje:

${ displaystyle { frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = { frac { vlevo ({ frac { částečné P} { částečné T}} pravé) _ {S}} { left ({ frac { částečné P} { částečné S}} pravé) _ {T}}} { frac { levé ({ frac { částečné V} { částečné S}} pravé) _ {T}} { vlevo ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {S}}} ,}$

Spojení obou derivátů při konstantní S:

${ displaystyle { frac { vlevo ({ frac { částečné P} { částečné T}} pravé) _ {S}} { levé ({ frac { částečné V} { částečné T}} right) _ {S}}} = left ({ frac { částečné P} { částečné T}} right) _ {S} left ({ frac { částečné T} { částečné V} } right) _ {S} = left ({ frac { částečné P} { částečné V}} right) _ {S} ,}$

Spojení obou derivátů při konstantní T:

${ displaystyle { frac { vlevo ({ frac { částečné V} { částečné S}} pravé) _ {T}} { levé ({ frac { částečné P} { částečné S}} right) _ {T}}} = left ({ frac { částečné V} { částečné S}} right) _ {T} left ({ frac { částečné S} { částečné P} } vpravo) _ {T} = vlevo ({ frac { částečné V} { částečné P}} vpravo) _ {T} ,}$

Z toho lze napsat:

${ displaystyle { frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = levý ({ frac { částečný P} { částečný V}} pravý) _ {S} levý ({ frac { částečné V} { částečné P}} pravé) _ {T} = { frac { beta _ {T}} { beta _ {S}}} ,}$

Ideální plyn

Toto je derivace pro získání výrazu pro ${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} ,}$ pro ideální plyn.

An ideální plyn má stavová rovnice: ${ displaystyle PV = nRT ,}$

kde

P = tlak

V = objem

n = počet krtků

R = univerzální plynová konstanta

T = teplota

The ideální plyn stavová rovnice lze uspořádat tak, aby poskytly:

${ displaystyle V = nRT / P ,}$ nebo ${ displaystyle , nR = PV / T}$

Následující parciální deriváty se získávají z výše uvedeného stavová rovnice:

${ displaystyle left ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {P} = { frac {nR} {P}} = vlevo ({ frac {VP} {T}} right) left ({ frac {1} {P}} right) = { frac {V} {T}}}$

${ displaystyle left ({ frac { částečné V} { částečné P}} pravé) _ {T} = - { frac {nRT} {P ^ {2}}} = - { frac {PV} {P ^ {2}}} = - { frac {V} {P}}}$

Pro koeficient tepelné roztažnosti jsou získány následující jednoduché výrazy ${ displaystyle alpha}$:

${ displaystyle alpha = { frac {1} {V}} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné T}} pravé) _ {P} = { frac {1} {V }} doleva ({ frac {V} {T}} doprava)}$

${ displaystyle alpha = 1 / T ,}$

a pro izotermickou stlačitelnost ${ displaystyle beta _ {T}}$:

${ displaystyle beta _ {T} = - { frac {1} {V}} vlevo ({ frac { částečné V} { částečné P}} vpravo) _ {T} = - { frac {1} {V}} vlevo (- { frac {V} {P}} vpravo)}$

${ displaystyle beta _ {T} = 1 / P ,}$

Nyní lze vypočítat ${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} ,}$ pro ideální plyny z dříve získaného obecného vzorce:

${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} = VT { frac { alpha ^ {2}} { beta _ {T}}} = VT { frac {(1 / T) ^ {2} } {1 / P}} = { frac {VP} {T}}}$

Střídání z ideální plyn rovnice dává konečně:

${ displaystyle C_ {P} -C_ {V} = nR ,}$

kde n = počet molů plynu v uvažovaném termodynamickém systému a R = univerzální plynová konstanta. Na základě molů se výraz pro rozdíl v molárních tepelných kapacitách stane jednoduše R pro ideální plyny takto:

${ displaystyle C_ {P, m} -C_ {V, m} = { frac {C_ {P} -C_ {V}} {n}} = { frac {nR} {n}} = R}$

Tento výsledek by byl konzistentní, pokud by konkrétní rozdíl byl odvozen přímo z obecného výrazu pro ${ displaystyle c_ {p} -c_ {v} ,}$.

Viz také

• Poměr tepelné kapacity

Reference

• David R. Gaskell (2008), Úvod do termodynamiky materiálů, Páté vydání, Taylor & Francis. ISBN  1-59169-043-9.