Reed-Frost model - Reed–Frost model

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Reed-Frost model“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Reed-Frost model je matematický model z epidemie ve 20. letech 20. století Lowell Reed a Wade Hampton Frost, z Univerzita Johna Hopkinse.^[1][2] Matematická formulace byla původně představena v přednášce Frosta v roce 1928 a používána v kurzech v Hopkinsu po dvě desetiletí. Matematická formulace byla zveřejněna až v padesátých letech minulého století, kdy byla také uvedena do televizní epizody.^{[Citace je zapotřebí ]}

Popis

Toto je příklad „řetězového binomického“ modelu, zjednodušený, iterativní model toho, jak se bude epidemie chovat v průběhu času.

Model Reed – Frost je jedním z nejjednodušších stochastických modelů epidemie. Byl formulován Lowellem Reedem a Wade Frostem v roce 1928 (v nepublikované práci) a popisuje vývoj infekce po generace. Každý infikovaný jedinec v generaci t (t = 1,2, ...) samostatně infikuje každého vnímavého jedince v populaci s určitou pravděpodobností p. Jedinci, kteří jsou nakaženi jednotlivci v generaci t, pak tvoří generaci t + 1 a jedinci v generaci t jsou z epidemického procesu odstraněni.^[3]

Model Reed – Frost je založen na následujících předpokladech:^[4]

1. Infekce se šíří přímo z infikovaných jedinců na jiné určitým typem kontaktu (nazývaného „adekvátní kontakt“) a žádným jiným způsobem.
2. Jakékoliimunní jednotlivec ve skupině, po takovém kontaktu s infekční u jednotlivce v daném období dojde k rozvoji infekce a bude nakažlivý pro ostatní až v následujícím časovém období; v následujících časových obdobích je zcela a trvale imunní.
3. Každý jednotlivec má pevnou pravděpodobnost, že přijde do adekvátního kontaktu s jakýmkoli jiným určeným jednotlivcem ve skupině v jednom časovém intervalu, a tato pravděpodobnost je stejná pro každého člena skupiny.
4. Jednotlivci jsou zcela odděleni od ostatních mimo skupinu. (Jedná se o uzavřenou populaci.)
5. Tyto podmínky zůstávají během epidemie konstantní.

Na začátku jsou nastaveny následující parametry:

• Velikost populace
• Počet jedinců již imunních
• Počet případů (obvykle 1)
• Pravděpodobnost adekvátního kontaktu

S touto informací umožňuje jednoduchý vzorec vypočítat, kolik jedinců bude v příštím časovém intervalu infikováno a kolik imunních. To se opakuje, dokud není celá populace imunní nebo nezůstanou žádní infekční jedinci. Model lze poté spustit opakovaně s úpravou počáteční podmínky, abychom viděli, jak ovlivňují vývoj epidemie.

Pravděpodobnost adekvátního kontaktu odpovídá zhruba R₀, základní reprodukční číslo - ve velké populaci, kdy je počáteční počet infikovaných malý, se očekává, že infikovaný jedinec způsobí ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {0} = ln (1 / (1-p))}$nové případy.

Matematika

Nechat ${ displaystyle I_ {t}}$ představují počet případů infekce v čase ${ displaystyle t}$. Předpokládejme, že všechny případy se obnoví nebo budou odstraněny přesně v jednom časovém kroku. Nechat ${ displaystyle S_ {t}}$ představují počet vnímavých jedinců v čase ${ displaystyle t}$. Nechat ${ displaystyle { mathcal {B}} (x)}$ být Bernoulliho náhodná proměnná, která se vrací ${ displaystyle 1}$ s pravděpodobností ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle 0}$ s pravděpodobností ${ displaystyle 1-x}$. S využitím konvence násobení náhodných proměnných můžeme model Reed – Frost zapsat jako

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {t + 1} & = sum _ {k = 0} ^ {S_ {t}} { mathcal {B}} (1- (1-p) ^ {I_ {t}}), S_ {t + 1} & = S_ {t} -I_ {t + 1} end {zarovnáno}}}$

s počátečním počtem vnímavých a infikovaných jedinců ${ displaystyle (S_ {0}, I_ {0})}$ daný. Tady, ${ displaystyle p}$ je pravděpodobnost, že osoba přijde do kontaktu s jinou osobou v jednom časovém kroku a že tento kontakt povede k přenosu nemoci.

Deterministický limit je (nalezen nahrazením náhodných proměnných jejich očekáváním),

${ displaystyle { begin {zarovnaný} I_ {t + 1} & = S_ {t} , (1- (1-p) ^ {I_ {t}}), S_ {t + 1} & = S_ {t} , (1-p) ^ {I_ {t}} end {zarovnáno}}}$

Viz také

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Duben 2020)

Reference

externí odkazy

• Vědecký přehled Johnse Hopkinse. Epidemická teorie: co to je? [1]