Skutečná hyperelliptická křivka - Real hyperelliptic curve

A hyperelliptická křivka je třída algebraické křivky. Hyperelliptické křivky existují pro všechny rod ${ displaystyle g geq 1}$ . Obecný vzorec hyperelliptické křivky přes konečné pole ${ displaystyle K}$ darováno

{ displaystyle C: y ^ {2} + h (x) y = f (x) v K [x, y]}

kde ${ displaystyle h (x), f (x) v K}$ splňovat určité podmínky. Existují dva typy hyperelliptických křivek: skutečné hyperelliptické křivky a imaginární hyperelliptické křivky které se liší počtem bodů v nekonečnu. Na této stránce popisujeme více skutečných hyperelliptických křivek, jedná se o křivky se dvěma body v nekonečnu, zatímco imaginární hyperelliptické křivky mají jeden bod v nekonečnu.

Definice

Skutečná hyperelliptická křivka rodu G přes K. je definována rovnicí tvaru ${ displaystyle C: y ^ {2} + h (x) y = f (x)}$ kde ${ displaystyle h (x) v K}$ má stupeň ne větší než g + 1 zatímco ${ displaystyle f (x) v K}$ musí mít titul 2 g + 1 nebo 2 g + 2. Tato křivka je nesingulární křivka, kde není žádný bod ${ displaystyle (x, y)}$ v algebraické uzavření z ${ displaystyle K}$ splňuje křivkovou rovnici ${ displaystyle y ^ {2} + h (x) y = f (x)}$ a obojí parciální derivace rovnice: ${ displaystyle 2y + h (x) = 0}$ a ${ displaystyle h '(x) y = f' (x)}$ Sada (konečných) ${ displaystyle K}$ –Racionální body C darováno

{ displaystyle C (K) = {(a, b) v K ^ {2} | b ^ {2} + h (a) b = f (a) } pohár S}

Kde ${ displaystyle S}$ je množina bodů v nekonečnu. Pro skutečné hyperelliptické křivky existují dva body v nekonečnu, ${ displaystyle infty _ {1}}$ a ${ displaystyle infty _ {2}}$ . Pro jakýkoli bod ${ displaystyle P (a, b) v C (K)}$ , opačný bod ${ displaystyle P}$ darováno ${ displaystyle { overline {P}} = (a, -b-h)}$ ; je to druhý bod s X-koordinovat A to také leží na křivce.

Příklad

Nechat ${ displaystyle C: y ^ {2} = f (x)}$ kde

{ displaystyle f (x) = x ^ {6} + 3x ^ {5} -5x ^ {4} -15x ^ {3} + 4x ^ {2} + 12x = x (x-1) (x-2 ) (x + 1) (x + 2) (x + 3) ,}

přes ${ displaystyle R}$ . Od té doby ${ displaystyle deg f (x) = 2g + 2}$ a ${ displaystyle f (x)}$ má tedy stupeň 6 ${ displaystyle C}$ je křivka rodu g = 2.

The homogenní verze křivkové rovnice je dána vztahem

{ displaystyle Y ^ {2} Z ^ {4} = X ^ {6} + 3X ^ {5} Z-5X ^ {4} Z ^ {2} -15X ^ {3} Z ^ {3} + 4X ^ {2} Z ^ {4} + 12XZ ^ {5}}

.

Má jediný bod v nekonečnu daný (0: 1: 0), ale tento bod je singulární. The nafouknout z ${ displaystyle C}$ má 2 různé body v nekonečnu, které označujeme ${ displaystyle infty _ {1}}$ a ${ displaystyle infty _ {2}}$ . Tato křivka je tedy příkladem skutečné hyperelliptické křivky.

Obecně platí, že každá křivka daná rovnicí kde F sudý stupeň má dva body v nekonečnu a je skutečnou hyperelliptickou křivkou, zatímco ty kde F má lichý stupeň, má pouze jeden bod ve zvětšení (0: 1: 0) a jsou tedy imaginární hyperelliptické křivky. V obou případech to předpokládá, že afinní část křivky je nesingulární (viz podmínky výše u derivátů)

Aritmetika ve skutečné hyperelliptické křivce

Ve skutečné hyperelliptické křivce již není přidávání definováno v bodech jako v eliptické křivky ale dál dělitele a jakobiána. Nechat ${ displaystyle C}$ být hyperelliptická křivka rodu G přes konečné pole K.. Dělitel ${ displaystyle D}$ na ${ displaystyle C}$ je formální konečný součet bodů ${ displaystyle P}$ na ${ displaystyle C}$ . Píšeme

{ displaystyle D = součet _ {P v C} {n_ {P} P}}

kde

{ displaystyle n_ {P} in mathbb {Z}}

a

{ displaystyle n_ {p} = 0}

téměř pro všechny

{ displaystyle P}

.

Stupeň ${ displaystyle D = součet _ {P v C} {n_ {P} P}}$ je definováno

{ displaystyle deg (D) = součet _ {P v C} {n_ {P}}}

.

${ displaystyle D}$ je prý definován znovu ${ displaystyle K}$ -li ${ displaystyle D ^ { sigma} = součet _ {P v C} n_ {P} P ^ { sigma} = D}$ pro všechny automorfismy σ z ${ displaystyle { overline {K}}}$ přes ${ displaystyle K}$ . Sada ${ displaystyle Div (K)}$ dělitelů ${ displaystyle C}$ definováno přes ${ displaystyle K}$ tvoří přísadu abelianská skupina podle pravidla přidání

{ displaystyle sum a_ {P} P + sum b_ {P} P = sum {(a_ {P} + b_ {P}) P}}

.

Sada ${ displaystyle Div ^ {0} (K)}$ všech stupňů nulových dělitelů ${ displaystyle C}$ definováno přes ${ displaystyle K}$ je podskupina ${ displaystyle Div (K)}$ .

Bereme příklad:

Nechat ${ displaystyle D_ {1} = 6P_ {1} + 4P_ {2}}$ a ${ displaystyle D_ {2} = 1P_ {1} + 5P_ {2}}$ . Pokud je tedy přidáme ${ displaystyle D_ {1} + D_ {2} = 7P_ {1} + 9P_ {2}}$ . Stupeň ${ displaystyle D_ {1}}$ je ${ displaystyle deg (D_ {1}) = 6 + 4 = 10}$ a stupeň ${ displaystyle D_ {2}}$ je ${ displaystyle deg (D_ {2}) = 1 + 5 = 6}$ . Pak, ${ displaystyle deg (D_ {1} + D_ {2}) = deg (D_ {1}) + deg (D_ {2}) = 16.}$

Pro polynomy ${ displaystyle G v K [C]}$ , dělitel ${ displaystyle G}$ je definováno

{ displaystyle mathrm {div} (G) = součet _ {P v C} { mathrm {ord}} _ {P} (G) P}

. Pokud je funkce

${ displaystyle G}$ má tyč v bodě ${ displaystyle P}$ pak ${ displaystyle - { mathrm {ord}} _ {P} (G)}$ je pořadí zmizení ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle P}$ . Převzít ${ displaystyle G, H}$ jsou polynomy v ${ displaystyle K [C]}$ ; dělitel racionální funkce ${ displaystyle F = G / H}$ se nazývá hlavní dělitel a je definován ${ displaystyle mathrm {div} (F) = mathrm {div} (G) - mathrm {div} (H)}$ . Skupinu hlavních dělitelů označíme ${ displaystyle P (K)}$ , tj. ${ displaystyle P (K) = { mathrm {div} (F) | F v K (C)}}$ . Jakobián z ${ displaystyle C}$ přes ${ displaystyle K}$ je definováno ${ displaystyle J = Div ^ {0} / P}$ . Skupina faktorů ${ displaystyle J}$ se také nazývá skupina dělitele třídy ${ displaystyle C}$ . Prvky, které jsou definovány nad ${ displaystyle K}$ tvoří skupinu ${ displaystyle J (K)}$ . Označujeme ${ displaystyle { overline {D}} v J (K)}$ třída ${ displaystyle D}$ v ${ displaystyle Div ^ {0} (K) / P (K)}$ .

Existují dva kanonické způsoby, jak reprezentovat třídy dělitele pro skutečné hyperelliptické křivky ${ displaystyle C}$ které mají dva body nekonečno ${ displaystyle S = { infty _ {1}, infty _ {2} }}$ . První je představovat dělitele nulového stupně ${ displaystyle { bar {D}}}$ takhle ${ displaystyle D = suma _ {i = 1} ^ {r} P_ {i} -r infty _ {2}}$ , kde ${ displaystyle P_ {i} v C ({ bar { mathbb {F}}} _ {q})}$ , ${ displaystyle P_ {i} not = infty _ {2}}$ , a ${ displaystyle P_ {i} not = { bar {P_ {j}}}}$ -li ${ displaystyle i not = j}$ Zástupce ${ displaystyle D}$ z ${ displaystyle { bar {D}}}$ se pak nazývá semi redukovaný. Li ${ displaystyle D}$ splňuje další podmínku ${ displaystyle r leq g}$ pak zástupce ${ displaystyle D}$ se nazývá redukovaný.^[1] Všimněte si toho ${ displaystyle P_ {i} = infty _ {1}}$ je povoleno pro některé i. Z toho vyplývá, že každá třída dělitele stupně 0 obsahuje jedinečného zástupce ${ displaystyle { bar {D}}}$ s

{ displaystyle D = D_ {x} -deg (D_ {x}) infty _ {2} + v_ {1} (D) ( infty _ {1} - infty _ {2})}

,

kde ${ displaystyle D_ {x}}$ je dělitel, který je spolu s oběma

{ displaystyle infty _ {1}}

a

{ displaystyle infty _ {2}}

, a

{ displaystyle 0 leq deg (D_ {x}) + v_ {1} (D) leq g}

.

Druhá reprezentace je vyvážena v nekonečnu ${ displaystyle D _ { infty} = infty _ {1} + infty _ {2}}$ Všimněte si, že tento dělitel je ${ displaystyle K}$ -racionální, i když body ${ displaystyle infty _ {1}}$ a ${ displaystyle infty _ {2}}$ nejsou tak samostatně. Napište zástupce třídy ${ displaystyle { bar {D}}}$ tak jako ${ displaystyle D = D_ {1} + D _ { infty}}$ ,kde ${ displaystyle D_ {1}}$ se nazývá afinní část a neobsahuje ${ displaystyle infty _ {1}}$ a ${ displaystyle infty _ {2}}$ a nechte ${ displaystyle d = deg (D_ {1})}$ . Li ${ displaystyle d}$ je i tehdy

{ displaystyle D _ { infty} = { frac {d} {2}} ( infty _ {1} + infty _ {2})}

.

Li ${ displaystyle d}$ je potom zvláštní

{ displaystyle D _ { infty} = { frac {d + 1} {2}} infty _ {1} + { frac {d-1} {2}} infty _ {2}}

.^[2]

Například nechť jsou dány afinní části dvou dělitelů

{ displaystyle D_ {1} = 6P_ {1} + 4P_ {2}}

a

{ displaystyle D_ {2} = 1P_ {1} + 5P_ {2}}

pak jsou vyvážené dělitele

{ displaystyle D_ {1} = 6P_ {1} + 4P_ {2} -5D _ { infty _ {1}} - 5D _ { infty _ {2}}}

a

{ displaystyle D_ {2} = 1P_ {1} + 5P_ {2} -3D _ { infty _ {1}} - 3D _ { infty _ {2}}}

Transformace ze skutečné hyperelliptické křivky na imaginární hyperelliptickou křivku

Nechat ${ displaystyle C}$ být skutečnou kvadratickou křivkou nad polem ${ displaystyle K}$ . Pokud existuje rozvětvený hlavní dělitel stupně 1 v ${ displaystyle K}$ pak jsme schopni provést a birational transformace na imaginární kvadratickou křivku. O (konečném nebo nekonečném) bodě se říká, že je rozvětven, pokud se rovná jeho vlastnímu opaku. Znamená to, že ${ displaystyle P = (a, b) = { overline {P}} = (a, -b-h (a))}$ , tj. to ${ displaystyle h (a) + 2b = 0}$ . Li ${ displaystyle P}$ je tedy rozvětvený ${ displaystyle D = P- infty _ {1}}$ je rozvětvený hlavní dělitel.^[3]

Skutečná hyperelliptická křivka ${ displaystyle C: y ^ {2} + h (x) y = f (x)}$ rodu ${ displaystyle g}$ s rozvětveným ${ displaystyle K}$ -racionální konečný bod ${ displaystyle P = (a, b)}$ je birationally ekvivalentní imaginárnímu modelu ${ displaystyle C ': y' ^ {2} + { bar {h}} (x ') y' = { bar {f}} (x ')}$ rodu ${ displaystyle g}$ , tj. ${ displaystyle deg ({ bar {f}}) = 2g + 1}$ a funkční pole jsou stejná ${ displaystyle K (C) = K (C ')}$ .^[4] Tady:

{ displaystyle x '= { frac {1} {x-a}}}

a

{ displaystyle y '= { frac {y + b} {(x-a) ^ {g + 1}}}}

… (I)

V našem příkladu ${ displaystyle C: y ^ {2} = f (x)}$ kde ${ displaystyle f (x) = x ^ {6} + 3x ^ {5} -5x ^ {4} -15x ^ {3} + 4x ^ {2} + 12x}$ , h (x) se rovná 0. Pro jakýkoli bod ${ displaystyle P = (a, b)}$ , ${ displaystyle h (a)}$ je rovno 0 a tedy požadavek na P se stane rozvětveným ${ displaystyle b = 0}$ . Střídání ${ displaystyle h (a)}$ a ${ displaystyle b}$ , získáváme ${ displaystyle f (a) = 0}$ , kde ${ displaystyle f (a) = a (a-1) (a-2) (a + 1) (a + 2) (a + 3)}$ , tj. ${ displaystyle a in {0,1,2, -1, -2, -3 }}$ .

Z bodu (i) získáme ${ displaystyle x = { frac {ax '+ 1} {x'}}}$ a ${ displaystyle y = { frac {y '} {x' ^ {g + 1}}}}$ . Pro g = 2 máme ${ displaystyle y = { frac {y '} {x' ^ {3}}}}$