Rayleigh – Lorentzovo kyvadlo - Rayleigh–Lorentz pendulum

Rayleigh – Lorentzovo kyvadlo (nebo Lorentzovo kyvadlo) je jednoduché kyvadlo, ale vystaven pomalu se měnící frekvenci v důsledku vnějšího působení (frekvence se mění změnou délky kyvadla), pojmenoval podle Lord Rayleigh a Hendrik Lorentz.^[1] Tento problém tvořil základ pro koncept adiabatické invarianty v mechanice. Z důvodu pomalé změny frekvence se ukazuje, že poměr průměrné energie k frekvenci je konstantní.

Dějiny

Problém s kyvadlem poprvé formuloval Lord Rayleigh v roce 1902, ačkoli některé matematické aspekty byly dříve diskutovány Léon Lecornu v roce 1895.^[2][3] Zpočátku nevědomý Rayleighovy práce Solvay konference v roce 1911, Hendrik Lorentz navrhl otázku, Jak se chová jednoduché kyvadlo, když se délka závěsné nitě postupně zkracuje?za účelem vyjasnění kvantová teorie toho času. K tomu Albert Einstein odpověděl následující den tím, že jak energie, tak frekvence kmitání kvantového kyvadla se mění tak, že jejich poměr je konstantní, takže kyvadlo je ve stejném kvantovém stavu jako počáteční stav. Tyto dvě samostatné práce tvořily základ pro koncept adiabatický invariant, který našel aplikace v různých oblastech a stará kvantová teorie. V roce 1958 Subrahmanyan Chandrasekhar zajímal se o problém a studoval jej tak, aby byl nastaven obnovený zájem o problém, který následně studoval mnoho dalších výzkumníků, jako je John Edensor Littlewood atd.^[4][5][6]

Matematický popis

Rovnice jednoduchého harmonického pohybu s frekvencí ${ displaystyle omega}$ pro posunutí ${ displaystyle x (t)}$ darováno

${ displaystyle { frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + omega ^ {2} x = 0.}$

Pokud je frekvence konstantní, řešení je jednoduše dáno vztahem ${ displaystyle x = A cos ( omega t + phi)}$. Pokud se však frekvence může pomalu měnit s časem ${ displaystyle omega = omega (t)}$, nebo přesněji, pokud je charakteristická časová stupnice pro změnu frekvence mnohem menší než doba periody oscilace, tj.

${ displaystyle left | { frac {1} { omega}} { frac {d omega} {dt}} vpravo | ll omega,}$

pak to lze ukázat

${ displaystyle { frac { overline {E}} { omega}} = { text {stálý}},}$

kde ${ displaystyle { overline {E}}}$ je průměrná energie zprůměrovaná oscilací. Vzhledem k tomu, že frekvence se mění s časem v důsledku vnějšího působení, zachování energie již nedrží a energie během jediné oscilace není konstantní. Během oscilace se frekvence (i když pomalu) mění, stejně tak se mění i její energie. Proto k popisu systému definujeme průměrnou energii na jednotku hmotnosti pro daný potenciál ${ displaystyle V (x; omega)}$ jak následuje

${ displaystyle { begin {aligned} { overline {E}} = mast dt left [{ frac {1} {2}} left ({ frac {dx} {dt}} right) ^ {2} + V (x (t); omega (t)) doprava] / mast dt end {zarovnáno}}}$

kde uzavřený integrál označuje, že je převzat úplnou oscilací. Definováno tímto způsobem, je vidět, že se provádí průměrování, přičemž se váží každý prvek oběžné dráhy zlomkem času, který v tomto prvku kyvadlo stráví. U jednoduchého harmonického oscilátoru se redukuje na

${ displaystyle { overline {E}} = { frac {1} {2}} A ^ {2} omega ^ {2}}$

kde amplituda i frekvence jsou nyní funkcemi času.

Reference