Kvazi-polynom - Quasi-polynomial

v matematika, a kvazi-polynom (pseudo-polynom) je zobecněním polynomy. Zatímco koeficienty polynomu pocházejí z a prsten, místo toho jsou koeficienty kvazi-polynomů periodické funkce s integrálním obdobím. Kvazi-polynomy se objevují po většinu roku kombinatorika jako enumerátory pro různé objekty.

Kvazi-polynom lze psát jako ${displaystyle q (k) = c_ {d} (k) k ^ {d} + c_ {d-1} (k) k ^ {d-1} + cdots + c_ {0} (k)}$, kde ${displaystyle c_ {i} (k)}$ je periodická funkce s integrální periodou. Li ${displaystyle c_ {d} (k)}$ není shodně nula, pak stupeň ${displaystyle q}$ je ${displaystyle d}$. Ekvivalentně funkce ${displaystyle fcolon mathbb {N} o mathbb {N}}$ je kvazi-polynom, pokud existují polynomy ${displaystyle p_ {0}, tečky, p_ {s-1}}$ takhle ${displaystyle f (n) = p_ {i} (n)}$ když ${displaystyle nequiv i {mod {s}}}$. Polynomy ${displaystyle p_ {i}}$ se nazývají složky ${displaystyle f}$.

Příklady

• Vzhledem k ${displaystyle d}$-dimenzionální polytop ${displaystyle P}$ s Racionální vrcholy ${displaystyle v_ {1}, tečky, v_ {n}}$, definovat ${displaystyle tP}$ být konvexní obal z ${displaystyle tv_ {1}, tečky, tv_ {n}}$. Funkce ${displaystyle L (P, t) = # (tPcap mathbb {Z} ^ {d})}$ je kvazi-polynom v ${displaystyle t}$ stupně ${displaystyle d}$. V tomto případě, ${displaystyle L (P, t)}$ je funkce ${displaystyle mathbb {N} o mathbb {N}}$. Toto je známé jako Ehrhartův kvazi-polynom, pojmenoval podle Eugen Ehrhart.
• Vzhledem k tomu, dva kvazi-polynomy ${displaystyle F}$ a ${displaystyle G}$, konvoluce z ${displaystyle F}$ a ${displaystyle G}$ je

${displaystyle (F * G) (k) = součet _ {m = 0} ^ {k} F (m) G (k-m)}$

což je kvazi-polynom se stupněm ${displaystyle leq deg F + deg G + 1.}$

Viz také

• Ehrhartův polynom

Reference

• Stanley, Richard P. (1997). Enumerativní kombinatorika, Hlasitost 1. Cambridge University Press. ISBN  0-521-55309-1, 0-521-56069-1.

Tento kombinatorika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.