Kvazi spojitá funkce - Quasi-continuous function

v matematika, pojem a kvazi spojitá funkce je podobný, ale slabší než, pojem a spojitá funkce. Všechny spojité funkce jsou kvazi spojité, ale obrácení obecně neplatí.

Definice

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologický prostor. Funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ je v místě kvazi spojitý ${ displaystyle x v X}$ pokud pro nějaké ${ displaystyle epsilon> 0}$ a jakékoli otevřené sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle x}$ není prázdné otevřená sada ${ displaystyle G podmnožina U}$ takhle

${ Displaystyle | f (x) -f (y) | < epsilon ; ; ; ; pro všechny y v G}$

Všimněte si, že ve výše uvedené definici to není nutné ${ displaystyle x v G}$.

Vlastnosti

• Li ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ je tedy spojitý ${ displaystyle f}$ je kvazi spojitý
• Li ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ je spojitý a ${ displaystyle g: X rightarrow mathbb {R}}$ je tedy kvazi spojitý ${ displaystyle f + g}$ je kvazi spojitý.

Příklad

Zvažte funkci ${ displaystyle f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ definován ${ displaystyle f (x) = 0}$ kdykoli ${ displaystyle x leq 0}$ a ${ displaystyle f (x) = 1}$ kdykoli ${ displaystyle x> 0}$. Je zřejmé, že f je spojité všude kromě x = 0, tedy kvazi spojité všude kromě x = 0. Při x = 0 vezměte libovolné otevřené okolí U x. Pak existuje otevřená množina ${ displaystyle G podmnožina U}$ takhle ${ displaystyle y <0 ; pro všechny y v G}$. Je zřejmé, že to přináší ${ displaystyle | f (0) -f (y) | = 0 ; celkem y v G}$ f je tedy kvazi spojitý.

Naproti tomu funkce ${ displaystyle g: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ definován ${ displaystyle g (x) = 0}$ kdykoli ${ displaystyle x}$ je racionální číslo a ${ displaystyle g (x) = 1}$ kdykoli ${ displaystyle x}$ je iracionální číslo nikde kvazi spojité, protože každá neprázdná otevřená množina ${ displaystyle G}$ obsahuje některé ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}$ s ${ displaystyle | g (y_ {1}) - g (y_ {2}) | = 1}$.

Reference

• Ján Borsík (2007–2008). „Body kontinuity, kvazi-kontinuity, klikovitosti a horní a dolní kvazi-kontinuity“. Výměna skutečných analýz. 33 (2): 339–350.
• T. Neubrunn (1988). „Kvazi-kontinuita“. Výměna skutečných analýz. 14 (2): 259–308. JSTOR  44151947.