Informace o kvantovém Fisherovi - Quantum Fisher information - Wikipedia

The kvantové Fisherovy informace je centrální veličina v kvantová metrologie a je kvantovým analogem klasiky Fisher informace.^{[1][2][3][4][5]} Kvantové Fisherovy informace ${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho, A]}$ a Stát ${ displaystyle varrho}$ s respektem k pozorovatelný ${ displaystyle A}$ je definován jako

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho, A] = 2 součet _ {k, l} { frac {( lambda _ {k} - lambda _ {l}) ^ {2} } {( lambda _ {k} + lambda _ {l})}} vert langle k vert A vert l rangle vert ^ {2},}$

kde ${ displaystyle lambda _ {k}}$ a ${ displaystyle vert k rangle}$ jsou vlastní čísla a vlastní vektory matice hustoty ${ displaystyle varrho,}$ resp.

Když pozorovatelný generuje a unitární transformace systému s parametrem ${ displaystyle theta}$ z počátečního stavu ${ displaystyle varrho _ {0}}$,

${ displaystyle varrho ( theta) = exp (-iA theta) varrho _ {0} exp (+ iA theta),}$

kvantová Fisherova informace omezuje dosažitelnou přesnost statistického odhadu parametru ${ displaystyle theta}$ přes kvantová vazba Cramér – Rao tak jako

${ displaystyle ( Delta theta) ^ {2} geq { frac {1} {mF _ { rm {Q}} [ varrho, A]}},}$

kde ${ displaystyle m}$ je počet nezávislých opakování.

Často je žádoucí odhadnout velikost neznámého parametru ${ displaystyle alpha}$ který řídí sílu Hamiltonian systému ${ displaystyle H = alfa A}$ s ohledem na známé pozorovatelné ${ displaystyle A}$ během známé dynamické doby ${ displaystyle t}$. V tomto případě definování ${ displaystyle theta = alfa t}$, aby ${ displaystyle theta A = tH}$, znamená odhady ${ displaystyle theta}$ lze přímo přeložit do odhadů ${ displaystyle alpha}$.

Vztah k symetrické logaritmické derivaci

Kvantová Fisherova informace se rovná očekávané hodnotě ${ displaystyle L _ { varrho} ^ {2}}$, kde ${ displaystyle L _ { varrho}}$ je Symetrická logaritmická derivace.

Vlastnosti konvexity

Kvantová Fisherova informace se rovná čtyřnásobku rozptylu pro čisté stavy

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ vert Psi rangle, H] = 4 ( Delta H) _ { Psi} ^ {2}}$.

Pro smíšené státy je konvexní ${ displaystyle varrho,}$ to je

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [p varrho _ {1} + (1-p) varrho _ {2}, H] leq pF _ { rm {Q}} [ varrho _ {1 }, H] + (1-p) F _ { rm {Q}} [ varrho _ {2}, H].}$

Kvantová Fisherova informace je největší funkce, která je konvexní a která se rovná čtyřnásobku rozptylu pro čisté stavy. To znamená, že se rovná čtyřnásobku konvexní střechy rozptylu ^[6][7]

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho, H] = 4 inf _ { {p_ {k}, vert Psi _ {k} rangle }} součet _ {k} p_ {k} ( Delta H) _ { Psi _ {k}} ^ {2},}$

kde infimum je nad všemi rozklady matice hustoty

${ displaystyle varrho = součet _ {k} p_ {k} vert Psi _ {k} rangle langle Psi _ {k} vert.}$

Všimněte si, že ${ displaystyle vert Psi _ {k} rangle}$ nemusí být nutně vzájemně kolmé.

Nerovnosti pro kompozitní systémy

Musíme studovat chování kvantové Fisherovy informace ve složeném systému, abychom mohli studovat kvantovou metrologii systémů s mnoha částicemi.^[8]Pro státy produktu

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho _ {1} otimes varrho _ {2}, H_ {1} otimes { rm {Identity}} + { rm {Identity}} otimes H_ {2}] = F _ { rm {Q}} [ varrho _ {1}, H_ {1}] + F _ { rm {Q}} [ varrho _ {2}, H_ {2}]}$

drží.

Pro redukovaný stav máme

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho _ {12}, H_ {1} otimes { rm {Identity}} _ {2}] geq F _ { rm {Q}} [ varrho _ {1}, H_ {1}],}$

kde ${ displaystyle varrho _ {1} = { rm {Tr}} _ {2} ( varrho _ {12})}$.

Vztah k zapletení

Mezi nimi existují silné vazby kvantová metrologie a kvantová informační věda. Pro vícečásticový systém ${ displaystyle N}$ spin-1/2 částice ^[9]

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho, J_ {z}] leq N}$

platí pro oddělitelné státy, kde

${ displaystyle J_ {z} = součet _ {n = 1} ^ {N} j_ {z} ^ {(n)},}$

a ${ displaystyle j_ {z} ^ {(n)}}$ je složka momentu hybnosti jedné částice. Maximum pro obecné kvantové stavy je dáno vztahem

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho, J_ {z}] leq N ^ {2}.}$ Proto, Kvantové zapletení je zapotřebí k dosažení maximální přesnosti v kvantové metrologii.

Navíc pro kvantové stavy s hloubka zapletení ${ displaystyle k}$,

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho, J_ {z}] leq kN + N_ {R} ^ {2}}$

drží, kde ${ displaystyle N_ {R}}$ je zbytek z dělení ${ displaystyle N}$ podle ${ displaystyle k}$. Proto je k dosažení lepší a lepší přesnosti v odhadu parametrů zapotřebí stále vyšší úrovně vícestranného zapletení.^[10][11]

Podobné množství

Informace o zkosení Wigner – Yanase je definována jako ^[12]

${ displaystyle I ( varrho, H) = { rm {Tr}} (H ^ {2} varrho) - { rm {Tr}} (H { sqrt { varrho}} H { sqrt { varrho}}).}$

Z toho vyplývá, že ${ displaystyle I ( varrho, H)}$ je konvexní ${ displaystyle varrho.}$

Kvantová Fisherova informace a Wigner-Yanase zkosená informace, nerovnost

${ displaystyle F _ { rm {Q}} [ varrho, H] geq 4I ( varrho, H)}$

platí, kde existuje rovnost pro čisté státy.

Reference