Teorie kladných množin - Positive set theory

v matematická logika, teorie pozitivních množin je název třídy alternativy teorie množin ve kterém axiom porozumění

• "${ displaystyle {x mid phi }}$ existuje "

platí alespoň pro pozitivní vzorce ${ displaystyle phi}$ (nejmenší třída vzorců obsahujících vzorce atomové příslušnosti a rovnosti a uzavřená spojkou, disjunkcí, existenciální a univerzální kvantifikací).

Motivace těchto teorií je obvykle topologická: množiny jsou třídy, které jsou uzavřeny pod určitým topologie. Podmínky uzavření pro různé konstrukce povolené při vytváření pozitivních vzorců jsou snadno motivovány (a lze dále ospravedlnit použití univerzálních kvantifikátorů ohraničených v sadách, aby všeobecné pozitivní porozumění): Zdá se, že odůvodnění existenčního kvantifikátoru vyžaduje topologii kompaktní.

Teorie množin ${ displaystyle GPK _ { infty} ^ {+}}$ Olivier Esser se skládá z následujících axiomů:

• The axiom roztažnosti: ${ displaystyle x = y Leftrightarrow forall a , (a in x Leftrightarrow a in y)}$.
• The axiom prázdné množiny: existuje sada ${ displaystyle emptyset}$ takhle ${ displaystyle , neg existuje x ; x v prázdná sada ,}$ (tento axiom lze úhledně upustit od falešného vzorce ${ displaystyle perp}$ je zahrnut jako pozitivní vzorec).
• Axiom zobecněného pozitivu pochopení: pokud ${ displaystyle phi}$ je vzorec v predikátové logice pouze s použitím ${ displaystyle vee}$, ${ displaystyle klín}$, ${ displaystyle existuje}$, ${ displaystyle forall}$, ${ displaystyle =}$, a ${ displaystyle in}$, pak soubor všech ${ displaystyle x}$ takhle ${ displaystyle phi (x)}$ je také sada. Kvantifikace (${ displaystyle forall}$, ${ displaystyle existuje}$) mohou být ohraničené.
  • Upozorňujeme, že negace není výslovně povolena.
• Axiom of uzavření: pro každý vzorec ${ displaystyle phi (x)}$existuje množina, která je průsečíkem všech množin, které obsahují všechny X takhle ${ displaystyle phi (x)}$; tomu se říká uzavření ${ displaystyle {x mid phi (x) }}$ a je napsán jakýmkoli z různých způsobů, jakými lze topologické uzávěry prezentovat. To lze stručněji vyjádřit, pokud je povolen jazyk třídy (jakákoli podmínka u sad definujících třídu jako v NBG ): pro jakoukoli třídu C existuje sada, která je průsečíkem všech sad, které obsahují C jako podtřída. To je samozřejmě rozumný princip, pokud jsou sady v topologii chápány jako uzavřené třídy.
• The axiom nekonečna: von Neumann pořadové číslo ${ displaystyle omega}$ existuje. Toto není axiom nekonečna v obvyklém smyslu; pokud Infinity nedrží, uzavření ${ displaystyle omega}$ existuje a má sám sebe jako svého jediného dalšího člena (je určitě nekonečný); pointou tohoto axiomu je to ${ displaystyle omega}$ neobsahuje vůbec žádné další prvky, což zvyšuje teorii ze síly aritmetiky druhého řádu na sílu Morseova-Kelleyova teorie množin se správným pořadovým číslem třídy a slabě kompaktní kardinál.

Zajímavé vlastnosti

• The univerzální sada je v této teorii správná množina.
• Množiny této teorie jsou souborem množin, které jsou uzavřeny pod určitým topologie na hodinách.
• Teorie může interpretovat ZFC (tím, že se omezí na třídu dobře podložených množin, která sama o sobě množinou není). Ve skutečnosti interpretuje silnější teorii (Morseova-Kelleyova teorie množin se správným pořadovým číslem třídy a slabě kompaktní kardinál ).

Výzkumní pracovníci

• Isaac Malitz původně představil teorii pozitivní množiny ve své disertační práci na UCLA v roce 1976
• Alonzo Church byl předsedou komise dohlížející na výše uvedenou práci
• Olivier Esser se jeví jako nejaktivnější v této oblasti.

Viz také

• Nové základy podle Quine

Reference

• Esser, Olivier (1999), „O shodě pozitivní teorie.“, MLQ matematika. Log. Otázka, 45 (1): 105–116, doi:10.1002 / malq.19990450110, PAN  1669902