Porézní sada - Porous set

v matematika, a porézní sada je koncept ve studiu metrické prostory. Jako pojmy hubený a změřit nulu sady, porézní sadu lze považovat za „řídkou“ nebo „postrádající objem“; porézní množiny však nejsou ekvivalentní ani skromným množinám, ani měřením nulových množin, jak je znázorněno níže.

Definice

Nechť (X, d) být a kompletní metrický prostor a nechat E být podmnožinou X. Nechat B(X, r) označují uzavřená koule v (X, d) se středem X ∈ X a poloměr r > 0. E se říká, že je porézní pokud existují konstanty 0 <α <1 a r₀ > 0 takové, že za každých 0 <r ≤ r₀ a každý X ∈ X, tam je nějaký bod y ∈ X s

${displaystyle B (y, alfa r) subseteq B (x, r) setminus E.}$

Podmnožina X je nazýván σ-porézní pokud je to počitatelný unie porézních podskupin X.

Vlastnosti

• Jakákoli porézní sada je nikde hustá. Proto všichni σ-porézní množiny jsou skromné ​​množiny (nebo první kategorie ).
• Li X je konečně-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ, pak porézní podmnožiny jsou sady Lebesgueovo opatření nula.
• Existuje všakσ-porézní podmnožina P z Rⁿ což je první kategorie a Lebesgueovy míry nula. Toto je známé jako Zajíčekova věta.
• Vztah mezi pórovitostí a nikde hustotou lze ilustrovat následovně: if E není nikde hustá, pak pro X ∈ X a r > 0, existuje bod y ∈ X a s > 0 takových

${displaystyle B (y, s) subseteq B (x, r) setminus E.}$

Pokud však E je také porézní, pak je možné vzít s = αr (alespoň pro dostatečně malé r), kde 0 <α <1 je konstanta, která závisí pouze na E.

Reference

• Reich, Simeon; Zaslavski, Alexander J. (2002). Msgstr "Dva výsledky konvergence pro metody kontinuálního sestupu". Elektronický deník diferenciálních rovnic. 2002 (24): 1–11. ISSN  1072-6691.
• Zajíček, L. (1987–1988). „Pórovitost a σ-porozita “. Skutečný anál. Výměna. 13 (2): 314–350. ISSN  0147-1937. PAN943561