Rovnice pohybu pístu - Piston motion equations

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Rovnice pohybu pístu"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Pohyb bez odsazení píst připojeno k a klika přes a ojnice (jak lze najít v vnitřní spalovací motory ), lze vyjádřit několika matematické rovnice. Tento článek ukazuje, jak jsou tyto pohybové rovnice odvozeny, a ukazuje příklad grafu.

Geometrie klikového hřídele

Diagram znázorňující geometrické uspořádání pístního čepu, klikového čepu a středu kliky

Definice

${displaystyle l}$ tyč délka (vzdálenost mezi pístní čep a klikový čep )

${displaystyle r}$ klika poloměr (vzdálenost mezi klikový čep a střed kliky, tj. napůl mrtvice )

${displaystyle A}$ úhel kliky (od válec otvor středová čára v TDC )

${displaystyle x}$ poloha pístního čepu (nahoru od středu kliky podél středové osy otvoru válce)

${displaystyle v}$ rychlost pístního čepu (nahoru od středu kliky podél středové osy otvoru válce)

${displaystyle a}$ zrychlení pístního čepu (nahoru od středu kliky podél středové osy otvoru válce)

${displaystyle omega}$ klika úhlová rychlost

Úhlová rychlost

The klikový hřídel úhlová rychlost souvisí s motorem otáčky za minutu (RPM):

${displaystyle omega = {frac {2pi cdot mathrm {RPM}} {60}}}$

Vztah trojúhelníku

Jak je znázorněno na obrázku, klikový čep, střed kliky a pístní čep tvoří trojúhelník NOP.
Podle kosinový zákon je vidět, že:

${displaystyle l ^ {2} = r ^ {2} + x ^ {2} -2cdot rcdot xcdot cos A}$

Rovnice s ohledem na úhlovou polohu (Angle Domain)

Následující rovnice popisují vratný pohyb pístu vzhledem k úhlu kliky. Níže jsou uvedeny vzorové grafy těchto rovnic.

Pozice

Poloha vzhledem k úhlu kliky (z trojúhelníkového vztahu, dokončení náměstí, využívající Pytagorova identita a přeskupení):

${displaystyle {egin {array} {lcl} l ^ {2} = r ^ {2} + x ^ {2} -2cdot rcdot xcdot cos A l ^ {2} -r ^ {2} = (x-rcdot cos A) ^ {2} -r ^ {2} cdot cos ^ {2} A l ^ {2} -r ^ {2} + r ^ {2} cdot cos ^ {2} A = (x-rcdot cos A) ^ {2} l ^ {2} -r ^ {2} cdot (1-cos ^ {2} A) = (x-rcdot cos A) ^ {2} l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A = (x-rcdot cos A) ^ {2} x = rcdot cos A + {sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A }} end {pole}}}$

Rychlost

Rychlost vzhledem k úhlu kliky (nejdříve derivát, za použití řetězové pravidlo ):

${displaystyle {egin {array} {lcl} x '& = & {frac {dx} {dA}} & = & - rcdot sin A + {frac {({frac {1} {2}}) cdot (-2 ) cdot r ^ {2} cdot sin Acdot cos A} {sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A}}} & = & - rcdot sin A- {frac {r ^ {2} cdot sin Acdot cos A} {sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A}}} end {pole}}}$

Akcelerace

Zrychlení vzhledem k úhlu kliky (vteřinu derivát, za použití řetězové pravidlo a pravidlo kvocientu ):

${displaystyle {egin {array} {lcl} x '' & = & {frac {d ^ {2} x} {dA ^ {2}}} & = & - rcdot cos A- {frac {r ^ {2 } cdot cos ^ {2} A} {sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A}}} - {frac {-r ^ {2} cdot sin ^ {2} A } {sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A}}} - {frac {r ^ {2} cdot sin Acdot cos Acdot vlevo (- {frac {1} {2} } ight) cdot (-2) cdot r ^ {2} cdot sin Acdot cos A} {left ({sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A}} ight) ^ { 3}}} & = & - rcdot cos A- {frac {r ^ {2} cdot left (cos ^ {2} A-sin ^ {2} Aight)} {sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A}}} - {frac {r ^ {4} cdot sin ^ {2} Acdot cos ^ {2} A} {vlevo ({sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} cdot sin ^ {2} A}} ight) ^ {3}}} end {pole}}}$

Rovnice s ohledem na čas (časová doména)

Deriváty úhlové rychlosti

Pokud je úhlová rychlost konstantní, pak

${displaystyle A = omega t,}$

a platí následující vztahy:

${displaystyle {frac {dA} {dt}} = omega}$

${displaystyle {frac {d ^ {2} A} {dt ^ {2}}} = 0}$

Převod z úhlové domény na časovou doménu

Následující rovnice popisují vratný pohyb pístu s ohledem na čas. Li časová doména místo úhlové domény je vyžadováno, nejprve nahraďte A za ωt v rovnicích a poté měřítko pro úhlovou rychlost takto:

Pozice

Pozice s ohledem na čas je jednoduše:

${displaystyle x,}$

Rychlost

Rychlost s ohledem na čas (pomocí řetězové pravidlo ):

${displaystyle {egin {array} {lcl} v & = & {frac {dx} {dt}} & = & {frac {dx} {dA}} cdot {frac {dA} {dt}} & = & { frac {dx} {dA}} cdot omega & = & x'cdot omega end {pole}}}$

Akcelerace

Akcelerace s ohledem na čas (pomocí řetězové pravidlo a produktové pravidlo a úhlová rychlost deriváty ):

${displaystyle {egin {array} {lcl} a & = & {frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} & = & {frac {d} {dt}} {frac {dx} { dt}} & = & {frac {d} {dt}} ({frac {dx} {dA}} cdot {frac {dA} {dt}}) & = & {frac {d} {dt}} ({frac {dx} {dA}}) cdot {frac {dA} {dt}} + {frac {dx} {dA}} cdot {frac {d} {dt}} ({frac {dA} {dt} }) & = & {frac {d} {dA}} ({frac {dx} {dA}}) cdot ({frac {dA} {dt}}) ^ {2} + {frac {dx} {dA }} cdot {frac {d ^ {2} A} {dt ^ {2}}} & = & {frac {d ^ {2} x} {dA ^ {2}}} cdot ({frac {dA} {dt}}) ^ {2} + {frac {dx} {dA}} cdot {frac {d ^ {2} A} {dt ^ {2}}} & = & {frac {d ^ {2} x} {dA ^ {2}}} cdot omega ^ {2} + {frac {dx} {dA}} cdot 0 & = & x''cdot omega ^ {2} end {pole}}}$

Měřítko pro úhlovou rychlost

Vidíte, že x je bez měřítka, x 'je zmenšen o ω, a x "je zmenšen o ω². Chcete-li převést x 'z rychlosti vs úhlu [palec / rad] na rychlost vs čas [palce / s] vynásobte x' ω [rad / s]. Chcete-li převést x "z akcelerace na úhel [palec / rad²] na zrychlení vs čas [palce / s²] vynásobte x" číslem ω² [rad² / s²]. Všimněte si, že rozměrová analýza ukazuje, že Jednotky jsou konzistentní.

Rychlostní maxima / minima

Překročení nuly

Rychlost maxima a minima vyskytují se v úhlech klik, kde je zrychlení nulové (protínající vodorovnou osu). Rychlostní maxima a minima závisí na délce tyče (l) a poloviční zdvih (r), a dělej ne se vyskytují v úhlech klik (A) ± 90 °.

Úhel klikové tyče není v pravém úhlu

Rychlostní maxima a minima nemusí nutně nastat když klika svírá s tyčí pravý úhel. Existují protiklady, které vyvracejí idea že maxima a minima rychlosti se vyskytují pouze tehdy, když je úhel klikové tyče v pravém úhlu.

Příklad

U délky tyče 6 "a poloměru kliky 2" (jak je ukázáno v příkladu níže uvedeného grafu) numerické řešení přechodů nuly zrychlení zjistí, že maxima / minima rychlosti jsou v úhlech kliky ± 73,17615 °. Poté pomocí trojúhelníku sinusový zákon, bylo zjištěno, že vertikální úhel tyče je 18,60647 ° a úhel klikové tyče je 88,21738 °. Je zřejmé, že v tomto příkladu úhel mezi klikou a tyčí není pravý úhel. Součet úhlů trojúhelníku 88,21738 ° + 18,60647 ° + 73,17615 ° dává 180,00000 °. Stačí jediný protiklad vyvrátit prohlášení "rychlostní maxima / minima nastávají, když klika svírá s tyčí pravý úhel".

Příklad grafu pohybu pístu

Graf ukazuje x, x ', x "vzhledem k úhlu klikového hřídele pro různé poloviční zdvihy, kde L = délka tyče (l) a R = poloviční zdvih (r):

Jednotky vertikální osy jsou palce pro polohu, [palce / rad] pro rychlost, [palce / rad²] pro zrychlení.
Jednotky vodorovné osy mají úhel klik stupňů.

Animace pohybu pístu se stejnou délkou tyče a hodnotami poloměru kliky v grafu výše:

Animace pohybu pístů s různými polovičními tahy

Viz také

• Spalovací motor
• Pístový motor
• Posuvník-klika
• Skotské jho

Reference

1. http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm

Další čtení

• John Benjamin Heywood, Základy interního spalovacího motoru, McGraw Hill, 1989.
• Charles Fayette Taylor, Interní spalovací motor v teorii a praxi, sv. 1 a 2, 2. vydání, MIT Press 1985.

externí odkazy

• epi-eng Pístový pohyb
• kodeků Rychlost a zrychlení pístu
• animované motory Čtyřtaktní motor
• desmos interaktivní animace klikou
• síťové sítě Mechanismy D & T - interaktivní nástroje pro učitele
• mecamedia animace pohybu pístu

• Youtube Krátký blok rotující chevy 350.
• Youtube 3D animace MOTORU V8
• Youtube Uvnitř motoru V8 při volnoběžných otáčkách
• desmos interaktivní poloha pístu proti poměru táhla a derivace