Fázová linka (matematika) - Phase line (mathematics)

Spiknutí ${ displaystyle f '(y)}$ (vlevo) a jeho fázová čára (vpravo). V tomto případě, A a C jsou oba umyvadla a b je zdroj.

v matematika, a fázová linka je diagram, který ukazuje kvalitativní chování souboru autonomní obyčejná diferenciální rovnice v jedné proměnné, ${ displaystyle { tfrac {dy} {dx}} = f (y)}$. Fázová čára je jednorozměrná forma generála ${ displaystyle n}$-dimenzionální fázový prostor a lze jej snadno analyzovat.

Diagram

Čára, obvykle svislá, představuje interval domény domény derivát. The kritické body (tj., kořeny derivace, body ${ displaystyle y}$ takhle ${ displaystyle f '(y) = 0}$) jsou označeny a intervaly mezi kritickými body jsou označeny šipkami: interval, přes který je derivace kladná, má šipku směřující v kladném směru podél čáry (nahoru nebo doprava) a interval, přes který je derivace je záporný má šipku směřující v záporném směru podél čáry (dolů nebo doleva). Fázová linka je tvarově shodná s linkou použitou v první derivační test, kromě toho, že je vykreslen svisle místo vodorovně, a interpretace je prakticky totožná se stejnou klasifikací kritických bodů.

Příklady

Nejjednodušší příklady fázové linky jsou triviální fázové linky odpovídající funkcím ${ displaystyle f (y)}$ které nemění znaménko: pokud ${ displaystyle f (y) = 0}$, každý bod je stabilní rovnováha (${ displaystyle y}$ se nemění); -li ${ displaystyle f (y)> 0}$ pro všechny ${ displaystyle y}$, pak ${ displaystyle y}$ se vždy zvyšuje, a pokud ${ displaystyle f (y) <0}$ pak ${ displaystyle y}$ se vždy snižuje.

Nejjednodušší netriviální příklady jsou model exponenciálního růstu / rozpad (jedna nestabilní / stabilní rovnováha) a model logistického růstu (dvě rovnováhy, jedna stabilní a jedna nestabilní).

Klasifikace kritických bodů

Kritický bod lze klasifikovat jako stabilní, nestabilní nebo polostabilní (ekvivalentně jímka, zdroj nebo uzel) kontrolou sousedních šipek.

Pokud obě šipky směřují ke kritickému bodu, je stabilní (umyvadlo): blízká řešení budou konvergovat asymptoticky do kritického bodu a řešení je stabilní při malých poruchách, což znamená, že pokud je řešení narušeno, vrátí se do (konverguje) k řešení.

Pokud obě šipky směřují od kritického bodu, je nestabilní (zdroj): blízká řešení se odchýlí od kritického bodu a řešení je nestabilní při malých poruchách, což znamená, že pokud bude řešení narušeno, bude ne návrat k řešení.

Jinak - pokud jedna šipka směřuje ke kritickému bodu a druhá směřuje pryč - je polostabilní (uzel): je stabilní v jednom směru (kde šipka směřuje k bodu) a nestabilní v druhém směru (kde šipka směřuje od bodu).

Viz také

• První derivační test, analog v elementárním diferenciálním počtu
• Fázová rovina, 2-dimenzionální forma
• Fázový prostor, ${ displaystyle n}$-dimenzionální forma

Reference