Petersenova matice - Petersen matrix

The Petersenova matice je komplexní popis systémů biochemické reakce slouží k modelování reaktory pro kontrola znečištění (navrženo rozklad ) a také v systémy životního prostředí. Má tolik sloupců, kolik je příslušných komponent (Chemikálie, znečišťující látky, biomasy, plyny ) a tolik řádků, kolik je zúčastněných procesy (biochemické reakce a fyzikální degradace). Je přidán jeden další sloupec, který hostuje popis souboru kinetika každé transformace (rychlostní rovnice ).^[1][2]

Maticová struktura

Princip zachování hmotnosti pro každý proces je vyjádřen v řádcích matice. Pokud jsou zahrnuty všechny komponenty (žádná není vynechána), pak princip zachování hmotnosti stanoví, že pro každý proces:

${ displaystyle { text {pro celý proces}} i: sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { dot { rho _ {j}}} = 0 ;,}$

kde ${ displaystyle { dot { rho _ {j}}}}$ je míra hustoty každé složky. To lze také považovat za proces stechiometrický vztah.

Míru variací každé komponenty pro všechny procesy simultánního účinku lze navíc snadno vyhodnotit sečtením sloupců:

${ displaystyle { text {pro všechny komponenty}} j: { frac { částečné C_ {j}} { částečné t}} = součet _ {i = 1} ^ {m} a_ {ij} r_ { i} ;,}$

kde ${ displaystyle r_ {i}}$ jsou reakční rychlosti každého procesu.

Příklad

Systém třetiny objednávka reakce následuje a Michaelis – Menten enzymová reakce.

${ displaystyle { ce {{A} + 2B -> S}}}$

${ displaystyle { ce {{E} + S <=> [k_ {f}] [k_ {r}] ES -> [k _ { mathrm {cat}}] {E} + P}}}$

kde se činidla A a B spojí a tvoří substrát S (S = AB₂), který se pomocí enzymu E transformuje na produkt P. Míry produkce každé látky jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {d [{ ce {A}}]} {dt}} & = - k_ {1} [{ ce {A}}] [{ ce {B }}] ^ {2} [6pt] { frac {d [{ ce {B}}]} {dt}} & = - 2k_ {1} [{ ce {A}}]] [{ ce {B}}] ^ {2} [6pt] { frac {d [{ ce {S}}]} {dt}} & = k_ {1} [{ ce {A}}]] [ { ce {B}}] ^ {2} -k_ {f} [{ ce {E}}] [{ ce {S}}] + k_ {r} [{ ce {ES}}]] [6pt] { frac {d [{ ce {E}}]} {dt}} & = - k_ {f} [{ ce {E}}] [{ ce {S}}] + k_ {r} [{ ce {ES}}] + k _ { ce {cat}} [{ ce {E}} S] [6pt] { frac {d [{ ce {E}} S ]} {dt}} & = k_ {f} [{ ce {E}}] [{ ce {S}}] - k_ {r} [{ ce {ES}}] - k _ { ce { cat}} [{ ce {ES}}] [6pt] { frac {d [{ ce {P}}]} {dt}} & = k _ { ce {cat}} [{ ce {E}} S] end {zarovnáno}}}$

Proto Petersenova matice čte jako

Součásti (kmol / m³) Proces	A	B	S	E	ES	P	Rychlost reakce
P1: tvorba druhého řádu S z A a B.	−1	−2	+1	0	0	0	${ displaystyle k_ {1} [{ ce {A}}] [{ ce {B}}] ^ {2}}$
P2: Tvorba ES z E a S	0	0	−1	−1	+1	0	${ displaystyle k_ {f} [{ ce {E}}] [{ ce {S}}]}$
P3: Zpětný rozklad ES na E a S	0	0	+1	+1	−1	0	${ displaystyle k_ {r} [{ ce {ES}}]}$
P4: Dopředný rozklad ES na E a P	0	0	0	+1	−1	+1	${ displaystyle k _ {{ ce {cat}}} [{ ce {ES}}]}$

Petersenovu matici lze použít k zápisu rovnice rychlosti systému

${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {d} {dt}} [{ ce {A}}] { frac {d} {dt}} [{ ce {B}}]] { frac {d} {dt}} [{ ce {S}}] { frac {d} {dt}} [{ ce {E}}] { frac {d} { dt}} [{ ce {ES}}] { frac {d} {dt}} [{ ce {P}}] end {pmatrix}} = { begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 & 0 + 1 & -1 & + 1 & 0 0 & -1 & + 1 & + 1 0 & + 1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & + 1 end {bmatrix}} { begin {pmatrix} k_ {1} [ { ce {A}}] [{ ce {B}}]] {2} k_ {f} [{ ce {E}}] [{ ce {S}}] k_ {r } [{ ce {ES}}] k _ { ce {cat}} [{ ce {ES}}] end {pmatrix}}}$

Reference