Částečná geometrie - Partial geometry

An struktura výskytu ${displaystyle C = (P, L, I)}$ skládá se z bodů ${displaystyle P}$, řádky ${displaystyle L}$a vlajky ${displaystyle Isubseteq P imes L}$ kde bod ${displaystyle p}$ se říká, že je incident s linkou ${displaystyle l}$ -li ${displaystyle (p, l) v I}$. Je to (konečný ) částečná geometrie pokud existují celá čísla ${displaystyle s, t, alpha geq 1}$ takové, že:

• Pro jakoukoli dvojici odlišných bodů ${displaystyle p}$ a ${displaystyle q}$, s oběma je nanejvýš jeden incident na lince.
• Každý řádek je incident s ${displaystyle s + 1}$ bodů.
• Každý bod je incident s ${displaystyle t + 1}$ řádky.
• Pokud bod ${displaystyle p}$ a řádek ${displaystyle l}$ nejsou incidenty, existují přesně ${displaystyle alpha}$ páry ${displaystyle (q, m) v I}$, takový, že ${displaystyle p}$ je incident s ${displaystyle m}$ a ${displaystyle q}$ je incident s ${displaystyle l}$.

Dílčí geometrie s těmito parametry je označena ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$.

Vlastnosti

• Počet bodů je dán vztahem ${displaystyle {frac {(s + 1) (st + alpha)} {alpha}}}$ a počet řádků o ${displaystyle {frac {(t + 1) (st + alpha)} {alpha}}}$.
• Bodový graf (také známý jako kolineárnost graf ) a ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ je silně pravidelný graf: ${displaystyle srg ((s + 1) {frac {(st + alfa)} {alpha}}, s (t + 1), s-1 + t (alfa -1), alfa (t + 1))}$.
• Dílčí geometrie jsou duální struktury: duální a ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ je prostě a ${displaystyle pg (t, s, alpha)}$.

Speciální případ

• The zobecněné čtyřúhelníky jsou přesně ty částečné geometrie ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ s ${displaystyle alpha = 1}$.
• The Steinerovy systémy jsou přesně ty částečné geometrie ${displaystyle pg (s, t, alpha)}$ s ${displaystyle alpha = s + 1}$.

Zobecnění

A částečný lineární prostor ${displaystyle S = (P, L, I)}$ řádu ${displaystyle s, t}$ se nazývá semipartial geometrie, pokud existují celá čísla ${displaystyle alpha geq 1, mu}$ takové, že:

• Pokud bod ${displaystyle p}$ a řádek ${displaystyle ell}$ nejsou náhodné, existují ${displaystyle 0}$ nebo přesně ${displaystyle alpha}$ páry ${displaystyle (q, m) v I}$, takový, že ${displaystyle p}$ je incident s ${displaystyle m}$ a ${displaystyle q}$ je incident s ${displaystyle ell}$.
• Každý pár nekolineárních bodů má přesně ${displaystyle mu}$ společné sousedy.

Semipartial geometry is a partial geometry if and only if ${displaystyle mu = alpha (t + 1)}$.

Lze snadno ukázat, že graf kolinearity takové geometrie je s parametry silně pravidelný ${displaystyle (1 + s (t + 1) + s (t + 1) t (s-alfa +1) / mu, s (t + 1), s-1 + t (alfa -1), mu)}$.

Pěkný příklad takové geometrie se získá převzetím afinních bodů ${displaystyle PG (3, q ^ {2})}$ a pouze ty čáry, které protínají rovinu v nekonečnu v bodě pevné Baerovy podroviny; má parametry ${displaystyle (s, t, alfa, mu) = (q ^ {2} -1, q ^ {2} + q, q, q (q + 1))}$.

Viz také

• Maximální oblouk

Reference

• Brouwer, A.E .; van Lint, J.H. (1984), „Silně pravidelné grafy a částečné geometrie“, Jackson, D.M .; Vanstone, S.A. (eds.), Výčet a design, Toronto: Academic Press, s. 85–122
• Bose, R. C. (1963), „Silně pravidelné grafy, částečné geometrie a částečně vyvážené vzory“, Pacific J. Math., 13: 389–419, doi:10,2140 / pjm.1963.13.389
• De Clerck, F .; Van Maldeghem, H. (1995), „Některé třídy geometrií 2. úrovně“, Handbook of Incidence Geometry, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 433–475
• Thas, J.A. (2007), „Parciální geometrie“, Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Příručka kombinatorických vzorů (2. vyd.), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, str.557–561, ISBN  1-58488-506-8
• Debroey, I .; Thas, J. A. (1978), „O semipartial geometries“, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 25: 242–250, doi:10.1016 / 0097-3165 (78) 90016-x