Paretova interpolace - Pareto interpolation

Paretova interpolace je metoda odhadování the medián a další vlastnosti populace, která následuje a Paretova distribuce. Používá se v ekonomika při analýze rozložení příjmů v populaci, kdy je třeba založit odhady na relativně malém náhodném vzorku odebraném z populace.

Rodina Paretových distribucí je parametrizována pomocí

• kladné číslo κ, což je nejmenší hodnota, kterou a náhodná proměnná s distribucí Pareto může trvat. Při rozdělení příjmů je κ nejnižší příjem jakékoli osoby v populaci; a
• kladné číslo θ „Paretův index“; jak se to zvyšuje, ocas distribuce se ztenčuje. Při aplikaci na rozdělení příjmů to znamená, že čím větší je hodnota Paretova indexu θ, tím menší je podíl příjmů mnohonásobně větší než nejmenší příjem.

Paretovu interpolaci lze použít, když dostupné informace zahrnují podíl vzorku, který klesne pod každé ze dvou zadaných čísel A < b. Lze například pozorovat, že 45% jedinců ve vzorku má příjmy níže A = 35 000 $ ročně a 55% má příjmy níže b = 40 000 $ ročně.

Nechat

P_A = podíl vzorku, který leží níže A;

P_b = podíl vzorku, který leží níže b.

Pak jsou odhady κ a θ

${ displaystyle { widehat { kappa}} = left ({ frac {P_ {b} -P_ {a}} { left (1 / a ^ { widehat { theta}} right) - left (1 / b ^ { widehat { theta}} right)}} right) ^ {1 / { widehat { theta}}}}$

a

${ displaystyle { widehat { theta}} ; = ; { frac { log (1-P_ {a}) - log (1-P_ {b})} { log (b) - log (a)}}.}$

Odhad mediánu by pak byl

${ displaystyle { mbox {odhadovaný medián}} = { widehat { kappa}} cdot 2 ^ {1 / { widehat { theta}}}, ,}$

protože skutečný medián populace je

${ displaystyle { mbox {median}} = kappa , 2 ^ {1 / theta}. ,}$

Reference

• Úřad amerického sčítání lidu, Memorandum o statistických technikách použitých v průzkumu příjmů z roku 2001 (PDF). Viz Rovnice 10 na str. 24.
• Stults, Brian J, Odvození mediánu příjmu domácnosti. Poskytuje derivaci rovnic pro Paretovu interpolaci.